2019版高考数学复习专题十五不等式选讲讲义理（普通生，含解析）（选修4－5）

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1、重点增分专题十五不等式选讲[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018含绝对值不等式的解法及绝对值不等式恒成立问题含绝对值不等式的解法及绝对值不等式恒成立问题含绝对值函数的图象与绝对值不等式恒成立问题2017含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法含绝对值不等式的解法、函数最值的求解2016含绝对值不等式的解法、分段函数的图象及应用含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式及应用含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质(1)不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解

2、法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．(2)此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．含绝对值不等式的解法保分考点·练后讲评1.解不等式

3、x＋3

4、<

5、2x－1

6、.解：由已知，可得

7、x＋3

8、<

9、2x－1

10、，即

11、x＋3

12、2<

13、2x－1

14、2，∴3x2－10x－8>0，解得x<－或x>4.故所求不等式的解集为∪(4，＋∞)．2.(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－

15、x＋a

16、－

17、x－2

18、.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．解：(1)当

19、a＝1时，f(x)＝当x<－1时，由2x＋4≥0，解得－2≤x<－1；当－1≤x≤2时，显然满足题意；当x>2时，由－2x＋6≥0，解得2

20、－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于

21、x＋a

22、＋

23、x－2

24、≥4.而

25、x＋a

26、＋

27、x－2

28、≥

29、a＋2

30、，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于

31、a＋2

32、≥4.由

33、a＋2

34、≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．[解题方略]　绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a∈R＋，

35、x

36、

37、x

38、>a⇔x<－a或x>a.(2)平方法

39、：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.保分考点·练后讲评1.已知f(x)＝

40、x－1

41、＋

42、x

43、，且α>1，β>1，f(α)＋f(β)＝2，求证：＋≥.证明：因为α>1，β>1，f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝2，所以α＋β＝2.所以＋＝(α＋β)＝≥＝

44、，当且仅当α＝2β＝时取等号．2.已知函数f(x)＝

45、x＋1

46、.(1)求不等式f(x)＜

47、2x＋1

48、－1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b)．解：(1)由题意，

49、x＋1

50、<

51、2x＋1

52、－1，①当x≤－1时，不等式可化为－x－1＜－2x－2，解得x＜－1；②当－1＜x＜－时，不等式可化为x＋1＜－2x－2，此时不等式无解；③当x≥－时，不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1.综上，M＝{x

53、x＜－1或x＞1}．(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝

54、a＋1

55、－

56、－b＋1

57、≤

58、a＋1－(－b＋1)

59、＝

60、a＋b

61、，所以要证f(ab

62、)＞f(a)－f(－b)，只需证

63、ab＋1

64、＞

65、a＋b

66、，即证

67、ab＋1

68、2＞

69、a＋b

70、2，即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证(a2－1)(b2－1)＞0.因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立．3.已知a，b∈R，且a＋b＝1，求证：(a＋2)2＋(b＋2)2≥.证明：法一：(放缩法)因为a＋b＝1，所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥22＝[(a＋b)＋4]2＝当且仅当a＋2＝b＋2，即a＝b＝时，等号成立．法二：(反证法)假设(a＋2)2＋(b＋2

71、)2<，则a2＋b2＋4(a＋b)＋8<.因为a＋b＝1，则b＝1－a，所以a2＋(1－a)2＋12<.所以2<0，这与2≥0矛盾，故假设不成立．所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥.[解题方略]　证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等．(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法．(2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的．(3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至

72、多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出矛