《高中物理思维方法集解》随笔系列——高中物理习题解决的“数列法”

《《高中物理思维方法集解》随笔系列——高中物理习题解决的“数列法”》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《高中物理思维方法集解》随笔系列高中物理习题解决的“数列法”山东平原一中魏德田我们知道，按一定顺序排列的一列数，叫做数列；数列中的某个数，叫做数列的一项。无论哪一种数列，都应具有一些自身的特点和变化的规律。在高中物理解题时，我们也常会用到等差数列、等比数列的知识。由此，我们把应用数列知识解决物理问题的思维方法，称为数列法。高中物理解题中，数列知识的应用分为：1．判断物理过程的特征；2．用通项公式求未知量；3．用求和公式求未知量等三个方面的问题。一般地，按一定规律变化的多个子过程问题，大都具有类似性、反复性的特点。

2、随着子过程过程的反复进行，某个物理变量即可逐步生成几个形式类似、而内涵（如大小、正负、幂次等）却不同的表达式，由此得某种数列的前几项，应用归纳法（或递推原理），把这几项“融合”在一起，从而求出数列的通项公式，以描述对应物理量的变化规律(这是解题的关键)。因此，我们即可用数列的通项公式求出某一项。若欲求数列前项之和，则常用对应的求和公式来解决。解答此类问题的基本思路：⑴先逐个分析多过程初期的几个子过程，分别找出数列的前几项；⑵再利用归纳法找出数列的通项公式；⑶最后整体分析物理过程，应用数列的通项公式或求和公式解决问

3、题。无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用。等差数列前n项之和，d为公差。等比数列前n项之和：，q为公比。下面，主要针对上述2、3两方面的问题，分别讨论数列知识在高考物理解题中的应用。【例题解析】数列法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通项表达式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数列知识求解。用数列法解题的关键是导出联系相邻两次

4、作用的递推式。一．用通项表达式求未知量某些物理状态或过程必须借助于数列知识，才能全面的描述其状态及其变化特征。此类问题，要求我们能够根据初始条件，以数学归纳法来（递推规律），求出某个物理量的通项表达式。【例题1】质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；…；在nt时刻，加速度变为(n+1)a，求：（1）nt时刻质点的速度；（2）nt时间内通过的总路程。【解析】根据数列法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解。（1）物质在某时刻t末的速度为vt=at2t末的速度为v

5、2t=vt+2at即v2t=at+2at3t末的速度为v3t=v2t+3at=at+2at+3at……由此可得，通项表达式则nt末的速度为vnt=v(n－)t+nat=at+2at+3at+…+nat=at(1+2+3+…+n)=at(n+1)n=n(n+1)at（2）同理：可推得nt内通过的总路程s=n(n+1)(2n+1)at2【点拨】显然，此例先“从特殊到一般找到规律”，由速度公式布列各式，比较、归纳出通项表达式，再用等差数列求和知识解决。【例题2】线段AB长S，均分为n等分，一质点由A出发，以加速度a向B

6、作匀加速运动，当质点到达每一等分的末端时，它的加速度增加了a/n，试证质点到B点时的速度是。【解析】这是一道数学上有规律而物理上几乎无法完全归纳的问题，可只要发现了数学上的规律，而在物理上对其过程并不没有必要作很深的探讨。应用匀变速运动的速度-位移的关系式，分别对每段等分位移列出下面的表达式。再把以上各式左右相加,可得显然，。代入上式可得相同的结果【点拨】此例用位移-速度的关系式，分别列出每一等份位移的方程，然后相加，即获得一等比数列，再用等比数列求和公式解决。由此可知，解决数列问题，并不是每题非得求出通项式表达

7、式不可。【例题3】（10北京）雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的；初始质量为，初速度为，下降距离后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为。此后每经过同样的距离后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次为、．．．．．．．．．．．．（设各质量为已知量）。不计空气阻力。若考虑重力的影响，　　求（1）第１次碰撞前、后雨滴的速度和；　　（2）求第ｎ次碰撞后雨滴的动能。　　【解析】（1）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度

8、为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒第1次碰撞前 ， 第1次碰撞后 ，    ①  （2）第2次碰撞　　利用①式化简得②　　第2次碰撞后，利用②式得　　                          同理，第3次碰撞后，…………第n次碰撞后速度为   故第ｎ次碰撞后雨滴的动能为 【点拨】应注意到，第n次碰撞后的速度平方式也是某一数列的 通项表达式。图7—4—2【例题4】