高考数学复习第九章平面解析几何第3节圆的方程学案文新人教a版

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1、第3节　圆的方程最新考纲　掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.知识梳理1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：半径r＝2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(

2、3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.[常用结论与微点提醒]1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.3.求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.(　　)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.(　　)(4)方程A

3、x2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)解析　(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为

4、a

5、的圆.(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1时表示圆.答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2.若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)A.(－1，1)B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.a＝±1解析　因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1

6、长春质检)圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)A.(x－)2＋(y－1)2＝4B.(x－)2＋(y－)2＝4C.x2＋(y－2)2＝4D.(x－1)2＋(y－)2＝4解析　圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2，0)关于直线y＝x对称的坐标为(1，)，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.答案　D4.(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.解析　由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a＝

7、－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.答案　(－2，－4)　55.(必修2P124A4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________.解析　设圆心坐标为C(a，0)，∵点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，∴

8、CA

9、＝

10、CB

11、，即＝，解得a＝2，所以圆心为C(2，0)，半径

12、CA

13、＝＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案　(x－2)2＋y2＝10考点一　圆的方程【例1】(1)(一题多解)过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝

14、0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________.(2)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________.解析　(1)法一　由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②联立①②，解得所以圆心坐标为(3，0)，半径r＝＝，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.法二　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，∵点A(4，1)，B(2，1)在圆上，故又∵＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2

15、＝2.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由

16、x1－x2

17、＝6，得D2－4F＝36，④联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案　(1)(x－3)2＋y2＝2　(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－