高考数学复习第九章平面解析几何第7节抛物线学案文新人教a版

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1、第7节　抛物线最新考纲　1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M

2、

3、MF

4、＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的

5、几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下[常用结论与微点提醒]1.通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离

6、PF

7、＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定

8、是抛物线.(　　)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　　)(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长

9、AB

10、＝x1＋x2＋p.解析　(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方

11、程是y＝－.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2.以x＝1为准线的抛物线的标准方程为(　　)A.y2＝2xB.y2＝－2xC.y2＝4xD.y2＝－4x解析　由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x.答案　D3.(2018·黄冈联考)已知方程y2＝4x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x＝m的距离为4，则m的值为(　　)A.5B.－3或5C.－2或6D.6解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)

12、，它与直线x＝m的距离为d＝

13、m－1

14、＝4，∴m＝－3或5，故选B.答案　B4.(选修1－1P64A4(2)改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________.解析　很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上.当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2

15、py(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.答案　y2＝－8x或x2＝－y5.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.解析　设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2

16、＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].答案　[－1，1]考点一　抛物线的定义及应用【例1】(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，

17、AF

18、＋

19、BF

20、＝3，则线段AB的中点D到y轴的距离为(　　)A.B.1C.D.(2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则

21、PA

22、＋

23、PF

24、取最小值时点P的坐标为________.解析　(1)因为抛物线y2＝x的准线方程为x＝－.如图所示，过点A，B，D分别作直线x＝－

25、的垂线，垂足分别为G，E，M，因为

26、AF

27、＋

28、BF

29、＝3，根据抛物线的定义，

30、AG

31、＝

32、AF

33、，

34、BE

35、＝

36、BF

37、，所以

38、AG

39、＋

40、BE

41、＝3，所以

42、MD

43、＝＝，即线段AB的中点D到y轴的距离为－＝.(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.∵>2，∴A在抛物线内部，如图.设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知

44、PA

45、＋

46、PF

47、＝

48、PA

49、＋d，当PA⊥l时，

50、PA

51、＋d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代