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《新课标人教a版高中数学必修五典题精讲(3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、-新课标人教A版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）典题精讲例1（1）已知0＜x＜1，求函数y=x(1-3x)的最大值;3（2）求函数y=x+1的值域.x思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x＜1,∴1-3x＞0.3∴y=x(1-3x)=11［3x(13x)2=1，当且仅当3x=1-3x，即x=1时，等号成立.∴x=1时，函数取得·3x(1-3x
2、)≤2］1266最大值133.12解法二：∵0＜x＜1,∴1-x＞0.3311xx11132-x)≤3［］，当且仅当x=∴y=x(1-3x)=3x(2=12-x,即x=时，等号成立.336∴x=1时，函数取得最大值1.612（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+1≥2x1=2，当且仅当x=1时，等号成立.xx当x＜0时，y=x+1=-［(-x)+1］.x(x)----1∵-x＞0,∴(-x)+(x)1≥2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立.x----∴y=x+1≤-2.----x---
3、-综上,可知函数y=x+1x的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).----绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x＞-11的最小值.时，求f(x)=x+1x1思路分析：x＞-1x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.x1解：∵x＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+11-1≥2(x1)1-1=1.=x+1+(x1)x1x1当且仅当1,即x=0时,取得等号.x+1=x1∴f(x)min=1.变式训
4、练2求函数y=x43x23的最小值.x21思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1.∴y=x43x23=(t1)23(t1)3t2t1t11.x21ttt∵t≥1,∴t+1≥2t1=2,当且仅当t=1,即t=1时，等号成立.ttt∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x＞0,y＞0，且1+9=1，求x+y的最小值.xy思路分析：要求x+y
5、的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.----解法一：利用“1的代换”,19∵+=1,xy∴x+y=(x+y)·(1+9)=10+y9x.xyxy∵x＞0,y＞0,∴y9x≥2y9x=6.xyxy----当且仅当y9xxy，即y=3x时，取等号.----19又+=1,∴x=4,y=12.xy∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法二：由1+9=1，得x=y.xyy9∵x＞0,y＞0,∴y＞9.x+y=yy9999+y=y+y=
6、y++1=(y-9)++10.y99y9y9∵y＞9,∴y-9＞0.∴y99≥2(y9)9=6.y9y9当且仅当y-9=9，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：由1+9=1，得y9xyy+9x=xy,∴(x-1)(y-9)=9.----∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2(x1)(y9)=16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又1+9=1,xy∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解
7、法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：1+9≥29①,即6≤1,∴xy≥6.xyxyxy∴x+y≥2xy≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是1=9，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了xy两次基本不等式,但是两个基本不等式
8、等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,ab=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.xy思路分析：本题属于“1的”代换问题.解：x+y=(x+y)(ab)=a+bxay+b=10+bxay.xyyxyx∵x,y＞0,a,b＞0，∴x+y≥10+2ab=18，即ab=4.又a+b=10，----a2,a8,∴8或2.bb例3求f(x)=3+lgx+4的最小值（0＜x＜1）.lgx思路分析：∵0＜x＜1,∴lgx
