新课标人教A版高中数学必修五典题精讲(3.doc

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1、新课标人教A版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式)典题精讲例1(1)已知0<x<,求函数y=x(1-3x)的最大值;(2)求函数y=x+的值域.思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x>0,因而不能直接使用基本不等式,需分x>0与x<0讨论.(1)解法一:∵0<x<,∴1-3x>0.∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.∴x=时,函数取得最大值.解法二:∵0<x<,∴-x>0.∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3[]2=,当且仅当x=

2、-x,即x=时,等号成立.∴x=时,函数取得最大值.(2)解:当x>0时,由基本不等式,得y=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立.当x<0时,y=x+=-[(-x)+].∵-x>0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立.∴y=x+≤-2.综上,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x>-1时,求f(x)=x+的最小值.思路分析:x>-1x+1>0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.解:∵x>-

3、1,∴x+1>0.∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1.当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.∴f(x)min=1.变式训练2求函数y=的最小值.思路分析:从函数解析式的结构来看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,事实上,我们可以把分母视作一个整体,用它来表示分子,原式即可展开.解:令t=x2+1,则t≥1且x2=t-1.∴y==.∵t≥1,∴t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时,等号成立.∴当x=0时,函数取得最小值3.例2已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.思路分析:要求x+y的最小值,根据极值定理,应构建某个积为

4、定值,这需要对条件进行必要的变形,下面给出三种解法,请仔细体会.解法一:利用“1的代换”,∵+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10+.∵x>0,y>0,∴≥2=6.当且仅当,即y=3x时,取等号.又+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.解法二:由+=1,得x=.∵x>0,y>0,∴y>9.x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.∵y>9,∴y-9>0.∴≥2=6.当且仅当y-9=,即y=12时,取得等号,此时x=4.∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.解法三:由+=1,得y+9x=xy,∴(x-1)(y-9)

5、=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2=16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.绿色通道:本题给出了三种解法,都用到了基本不等式,且都对式子进行了变形,配凑出基本不等式满足的条件,这是经常需要使用的方法,要学会观察,学会变形,另外解法二,通过消元,化二元问题为一元问题,要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱:本题容易犯这样的错误:+≥2①,即≤1,∴≥6.∴x+y≥2≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是

6、=,不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同,会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.思路分析:本题属于“1”的代换问题.解:x+y=(x+y)()=a++b=10+.∵x,y>0,a,b>0,∴x+y≥10+2=18,即=4.又a+b=10,∴或例3求f(x)=3+lgx+的最小值(0<x<1).思路分析:∵0<x<1,∴lgx<0,<0不满足各项必须是正数这一条件,不能直接应用基本不等式,正确的处理方法是加上负号变正数.解:∵0<x

7、<1,∴lgx<0,<0.∴->0.∴(-lgx)+(-)≥2=4.∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时取得等号.则有f(x)=3+lgx+(0<x<1)的最小值为-1.黑色陷阱:本题容易忽略0<x<1这一个条件.变式训练1已知x<,求函数y=4x-2+的最大值.思路分析:求和的最值,应凑积为定值.要注意条件x<,则4x-5<0.解:∵x<,∴4x-5<0.y=4x-5++3=-[(5-4x)+]+3≤-2+3=-2+3=1.当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立.所以当x=1时,函数的最大值是1.变式

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