2019年高中数学第4章点数统计案例4.3列联表独立性分析案例讲义（含解析）湘教版

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1、4．3列联表独立性分析案例[读教材·填要点]1．列联表一般地，对于两个因素X和Y，X的两个水平取值：A和(如吸烟和不吸烟)，Y也有两个水平取值：B和(如患肺癌和不患肺癌)，我们得到下表中的抽样数据，这个表格称为2×2列联表.YX　　　B总计Aaba＋bcdc＋d总计a＋cb＋dn其中n＝a＋b＋c＋d.2．独立性分析事件A与B独立，这时应该有P(AB)＝P(A)P(B)成立．我们用字母H0来表示上式，即H0：P(AB)＝P(A)·P(B)，称之为统计假设．我们引入统计中一个非常有用的χ2统计量，它的表达式是χ2＝.用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0.如果算出的χ2值较大，就拒绝H0

2、，也就是拒绝“事件A与B无关”，从而就认为它们是有关的了．[小问题·大思维]1．利用χ2进行独立性分析，估计值的准确度与样本容量有关吗？提示：利用χ2进行独立性分析，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量n越大，这个估计值越准确．如果抽取的样本容量很小，那么利用χ2进行独立性检验的结果就不具有可靠性．2．在χ2运算后，得到χ2的值为29.78，在判断因素相关时，P(χ2≥6.635)≈0.01和P(χ2≥7.88)≈0.005，哪种说法是正确的？提示：两种说法均正确．P(χ2≥6.635)≈0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两因素相关；而P(χ2≥7.88)≈0.0

3、05的含义是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两因素相关．独立性分析的原理某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系？[自主解答]　根据题目所给数据得如下2×2列联表：合格品次品总计甲在生产现场9828990甲不在生产现场49317510总计1475251500由列联表中的数据，得χ2＝≈13.097＞10.828.因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质

4、量好坏有关系．1．解决一般的独立性分析问题，首先由所给2×2列联表确定a，b，c，d，n的值，然后代入随机变量的计算公式求出观测值χ2，将χ2与临界值x0进行对比，确定有多大的把握认为两个分类变量有关系．2．反证法原理与独立性检验原理的比较反证法原理——在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立．独立性检验原理——在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过小概率．1．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，经过调查得到如下列联表：积极支持企业改革不太支持企业改革总计工作积极544094工作一般326

5、395总计86103189根据列联表的独立性分析，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为工作态度与支持企业改革之间有关系？解：由列联表中的数据，得χ2＝≈10.759>6.635，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为工作态度与支持企业改革之间有关系．独立性分析的应用某校对学生课外活动进行调查，结果整理如下表：体育文娱总计男生212344女生62935总计275279根据列联表的独立性分析，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢体育还是文娱与性别有关？[自主解答]　由列联表中的数据，得χ2＝≈8.106>6.635.∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“喜欢体育还

6、是喜欢文娱与性别有关．”独立性分析的步骤(1)提出统计假设H0：X与Y无关；(2)根据2×2列联表与χ2计算公式计算出χ2的值；(3)根据两个临界值，作出判断．2．同时抛掷两颗均匀的骰子，请回答以下问题：(1)求两颗骰子都出现2点的概率；(2)若同时抛掷两颗骰子180次，其中甲骰子出现20次2点，乙骰子出现30次2点，问两颗骰子在犯错误的概率不超过0.05的前提下均出现2点是否相关？解：(1)每颗骰子出现2点的概率都为，由相互独立事件同时发生的概率公式得两颗骰子都出现2点的概率为×＝.(2)依题意，列2×2列联表如下：出现2点出现其他点合计甲骰子20160180乙骰子30150180合计50

7、310360假设H0：两颗骰子在犯错误的概率不超过0.05的前提下均出现2点无关．由公式计算得χ2＝≈2.323.因为2.323<3.841，所以我们不拒绝H0，因此我们没有理由说两颗骰子在犯错误的概率不超过0.05的前提下均出现2点相关．独立性分析的综合应用为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物