计量多元回归统计检验

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1、§3.3多元线性回归模型的统计检验一、拟合优度检验1、可决系数与调整的可决系数在一元线性回归模型中，使用可决系数来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度。在多元线性回归模型中，我们也可用该统计量来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度。记为总离差平方和，为回归平方和，为剩余平方和，则由于=0所以有：（3.3.1）即总离差平方和可分解为回归平方和与剩余平方和两部分。回归平方和反映了总离差平方和中可由样本回归线解释的部分，它越大，剩余平方和越小，表明样本回归线与样本观测值的拟合程度越高。因此，可用回归平方和占总离差平方和的比重来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度：68(3.3.2)

2、该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，往往增大。这是因为残差平方和往往随着解释变量个数的增加而减少，至少不会增加。这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的的增大与拟合好坏无关，因此在多元回归模型之间比较拟合优度，就不是一个适合的指标，必须加以调整。在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响。记为调整的可决系数（adjustedcoefficientofde

3、termination），则有(3.3.3)其中为残差平方和的自由度，为总离差平方和的自由度。显然，如果增加的解释变量没有解释能力，则对残差平方和RSS的减小没有多大帮助，却增加待估参数的个数，从而使有较大幅度的下降。调整的可决系数与未经调整的可决系数这间存在如下关系：（3.3.4）68在实际应用中，达到多大才算模型通过了检验？没有绝对的标准，要看具体情况而定。模型的拟合优度并不是判断模型质量的唯一标准，有时甚至为了追求模型的经济意义，可以牺牲一点拟合优度。而且，在下一部分中，我们将推导出与另一个统计量的关系，那时会对有新的认识。在例3.2.2中，=0.9954，比例2.5.

4、1中的=0.9927大，这应该说是很好的拟合结果了。*2、赤池信息准则和施瓦茨准则为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有赤池信息准则（Akaikeinformationcriterion,AIC）和施瓦茨准则（Schwarzcriterion，SC）,其定义分别为（3.3.5）（3.3.6）这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少AIC值或AC值时才在原模型中增加该解释变量。显然，与调整的可决系数相仿，如果增加的解释变量没有解释能力，则对残差平方和的减小没有多大帮助，却增加待估参数的个数，这时可能导致AIC或AC的值增加。在例3.2.2中，Ev

5、iews的估计结果显示AIC值与AC值分别为6.68与6.83，分别小于例2.5.168中只包含人均国内生产总值一个解释变量时的相应值7.09与7.19。从这点看，可以说前期人均居民消费应包括在模型中。二、方程的显著性检验(F检验)方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。从上面的拟合优度检验中可以看出，拟合优度高，则解释变量对被解释变量的解释程度就高，可以推测模型总体线性关系成立；反之，就不成立。但这只是一个模糊的推测，不能给出一个在统计上严格的结论。这就要求进行方程的显著性检验。方程的显著性检验所应用的方法仍是数理统计学

6、中假设检验。1、方程显著性的F检验方程显著性的F检验是要检验模型i=1,2,…,n中参数是否显著不为0。按照假设检验的原理与程序，原假设与备择假设分别为：不全为零F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：TSS=ESS+RSS由于回归平方和68是解释变量X的联合体对被解释变量Y的线性作用的结果，考虑比值如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。因此可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。根据数理统计学中的知识，在原假设成立的条件下，统计量(3.3.7)服从自由度为的分布。给定一个显著性水平，可得到一个临界值，根据样本

7、在求出统计量的数值后，可通过＞或来拒绝或接受原假设，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。对于例3.2.2，计算得到=2057.3，给定一个显著性水平=0.05，查分布表，得到一个临界值(例中解释变量数目为2，样本容量为22)=3.52显然有＞表明模型的线性关系在95%的置信水平下显著成立。2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论68拟合优度检验和方程显著性检验是从不同原理出发的两类检验，前者是从已经得到估计的模型出发，检验它对样本观测值的拟合程度，后者是从样本观测值出发检验模型总体线性关系的