第5讲 对数与对数函数

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1、第5讲　对数与对数函数【2013年高考会这样考】1．考查对数函数的定义域与值域．2．考查对数函数的图象与性质的应用．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质．4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系．【复习指导】复习本讲首先要注意对数函数的定义域，这是研究对数函数性质．判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据，同时熟练把握对数函数的有关性质，特别注意底数对函数单调性的影响．基础梳理1．对数的概念(1)对数的定义如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数

2、的底数，N叫做真数．(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a＞0且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为eln_N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0且a≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.(3)对数的运算法则如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－lo

3、gaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝logaM.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)当x＞1时，y＞0当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．两个防范解决与对数有关的问

4、题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，.四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较．双基自测1．(2010·四川)2log510＋log50.25＝(　　)．　A．0B．1C．2D．4解析　原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.答案　C2．(人教A版教材习题改编)已知a＝log0.70.8，b＝log1.1

5、0.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系是(　　)．A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b解析　将三个数都和中间量1相比较：0＜a＝log0.70.8＜1，b＝log1.10.9＜0，c＝1.10.9＞1.答案　C3．(2012·黄冈中学月考)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)．A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析　设y＝f(x)，t＝3x＋1.则y＝log2t，t＝3x＋1，x∈R.由y＝log2t，t>1知函数f(x)的值域为(0，＋∞

6、)．答案　A4．(2012·汕尾模拟)下列区间中，函数f(x)＝

7、ln(2－x)

8、在其上为增函数的是(　　)．A．(－∞，1]B.C.D．[1,2)解析　法一　当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝

9、ln(2－x)

10、＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝

11、ln(2－x)

12、＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D.法二　f(x)＝

13、ln(2－x)

14、的图象如图所示．由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D.答案

15、　D5．若loga>1，则a的取值范围是________．答案　　考向一　对数式的化简与求值【例1】►求值：(1)；(2)(lg5)2＋lg50·lg2；(3)lg－lg＋lg.[审题视点]运用对数运算法则及换底公式．解　(1)原式＝＝.(2)原式＝(lg5)2＋lg(10×5)lg＝(lg5)2＋(1＋lg5)(1－lg5)＝(lg5)2＋1－(lg5)2＝1.(3)法一　原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.法二

16、　原式＝lg－lg4＋lg(7)＝lg＝lg＝.对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化．【训练1】(1)若2a＝5b＝10，求＋的值．(2)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．解　(1)由已知a＝log210，b＝