磨头镇突发公共事件总体应急预案

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1、第一章波动方程和行波法数学物理方法MathematicalMethodinPhysics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第19页共19页第一章波动方程和行波法第一章波动方程和行波法引言数理方法（泛定方程）（三类）在物理学的研究中起着重要作用，即研究如何从物理学的实际问题中导出数理方程呢？我们先从弦振动方程入手。基本步骤：（物理模型数学模型）1.建立坐标系（时间，空间）2.选择表征所研究过程的物理量（一个或几个）。表征物理量的选择常常是建立一个新方程的起点。3.寻找（猜测）物理过程所遵守的物理定律（物理公理）4.写出物理定律的表达式，即数学模型。1.1弦振动方程1.1.1弦的横振

2、动方程（均匀弦的微小横振动）演奏弦乐用（二胡，提琴）的人用弓在弦上来回拉动，弓所接触的是弦的很小的一段，似乎只能引起这个小段的振动，实际上振动总是传播到整个弦，弦的各处都振动起来。振动如何传播呢？1.物理模型实际问题：设有一根细长而柔软的弦，紧绷于A，B两点之间，在平衡位置附近产生振幅极为微小的横振动（以某种方式激发，在同一个平面内，弦上各点的振动方向相互平行，且与波的传播方向（弦的长度方向）垂直），求弦上各点的运动规律。2.分析：弦是柔软的，即在放松的条件下，把弦弯成任意的形状，它都保持静止。绷紧后，相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦中的张力，张力沿线的切线方向。由于张力的作用，

3、一个小段的振动必带动它的邻段，邻段又带动它自己的邻段…，这样一个小段的振动必然传播到整个弦，这种振动传播现象叫作波。弦是轻质弦（其质量只有张力的几万分之一）。根张力相比，弦的质量完全可以略去。①模型实际上就是：柔软轻质细弦（“没有质量”的弦）②将无质量的弦紧绷，不振动时是一根直线，取为X轴。第19页共19页第一章波动方程和行波法③将弦上个点的横向位移记为。AB④已知：线密度，重量不计，张力切线方向，不随变化，弦中个点的张力相等（小振动下与地无关）⑤研究方法：连续介质，微积分思想，任意性。3.研究建立方程①如图，选弦绷紧时（不振动）直线为X轴②弦上离开位置的位移，记为为表征物理量。③

4、因弦的振动是机械振动，基本规律为：。然而弦不是质点，故对整根弦并不适用。但整根弦可以细分为许多极小的小段，每个小段可以抽象为质点。即整根弦由相互牵连的质点组成，对每个质点即每个小段可应用。方法：将连续分布的介质离散化为多质点系统，再取内部任一代表性的点进行研究。将弦细分为许多极小的小段，取区间上小段为代表。无质量且柔软，故该段仅受到相邻两段的拉力和④对弦的每一小段，沿方向（纵向）为无运动，沿方向受合外力为零。对受力。并沿弦在振动过程中受到外力加横向力（沿）作用。单位长度上受到横向力为。沿方向（纵向）：，沿y方向（纵向）：，第19页共19页第一章波动方程和行波法于是由牛顿第二定律对所

5、对应的这一小段弦有①②其中是弦的线密度，即单位长度的质量，为对应弧长，为弦的横向位移，为弦的横向加速度。近似：考虑小的振动，，为小量。∵小振动近似：与两点间任一时刻横向位移之差与相比是一个小量，即。于是①、②化简为：即令，则上式为第19页共19页第一章波动方程和行波法应用微积分中值定理即——弦的强迫横振动方程其中，量纲分析：，∴即：振动的传播速度，它与弦的张力的平方根成正比，与弦的线密度的平方根成反比。对乐器来讲，意味着弦绷的越紧，波速越大；弦的质料越密，波速越小。上式中若外力消失，即。则得弦的自由横振动方程；注意：上述推导过程中，并没有考虑重力。第19页共19页第一章波动方程和行

6、波法不仅弦振动，一维波动方程，如弹性杆的横振动。二维波动方程，如薄膜的横振动方程，管道中小振动的传播，理想传输线的电报方程等均可用上述波动方程描述。故称为一类方程，即波动方程。（也是称其为泛定方程的远大）可描述一类物理现象。流体力学与声学中推导三维波动方程，这里不再一一推导。1.1.2定解条件的提出。（1）必要性。导出方程后，就得对方程进行求解。但是没有方程不足以完全确定方程的解，即不足以完全确定具体的物理过程，因为具体的物理过程还与其初始状态及边界所受的外界作用有关，因而必须找一些补充条件，用以确定该物理过程。从物理角度看：泛定方程仅表示一般性（艺性），要物体的运动个性化附加条件

7、。从数学角度看：微分方程解的任意性也需附加条件。通解中含任意函数（解不能唯一确定）。通过附加条件或确定任意函数（常数），从而确定解。这些附加条件就是前面所谈的问题的“历史”与“环境”，即初始条件和边界条件，统称为定解条件。(2）初始条件在求解含时间T变量的数理方程时，往往要追溯到早些某个所谓“初始”时间的状况（“历史”），于是称物理过程初始状况的数字表达式为初始条件。如弦振动方程其初始条件有：同一时刻()情况注意：a）初始条件应是整个系统的初始状态（不是系统中个别点的