《一 二维形式的柯西不等式》教学案3

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1、《二维形式的柯西不等式》教学案第一课时教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1.提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：及几种变式.2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证证法：(比较法)=….=二、讲授新课：1.教学柯西不等式：①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则.即二维形式的柯西不等式→什么时候取等号？②讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：(综合法).(要点：展开→配方)

2、证法三：(向量法)设向量，，则，.∵，且，则.∴….证法四：(函数法)设，则≥0恒成立.∴≤0，即…..③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式：或或.④提出定理2：设是两个向量，则.即柯西不等式的向量形式(由向量法提出)讨论：上面时候等号成立？(是零向量，或者共线)⑤练习：已知a、b、c、d为实数，求证.证法：(分析法)平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？(构造三角形)2.教学三角不等式：①出示定理3：设，则.分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代

3、数形式、向量形式；三角不等式的两种形式(两点、三点)。三、巩固练习：1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式；2.作业：教材P374、5题.《二维形式的柯西不等式》教学案第二课时教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1.提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：；2.讨论：如何将二维形式的柯西

4、不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3.如何利用二维柯西不等式求函数的最大值？要点：利用变式.二、讲授新课：1.教学最大(小)值：①出示例1：求函数的最大值？分析：如何变形？构造柯西不等式的形式。变式：→推广：②练习：已知，求的最小值.解答要点：(凑配法).讨论：其它方法(数形结合法)2.教学不等式的证明：①出示例2：若，，求证：.分析：如何变形后利用柯西不等式？(注意对比→构造)要点：…讨论：其它证法(利用基本不等式)②练习：已知、，求证：.3.练习：①已知，且，则的最小值.要点：….其它证法②若，且，求的最小值.(要点：利用三维柯西

5、不等式)变式：若，且，求的最大值.3.小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1.练习：教材P378、9题2.作业：教材P371、6、7题《二维形式的柯西不等式》教学案第三课时教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备：1.练习：2.提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：；二、讲授新课：1.教学一般

6、形式的柯西不等式：①提问：由平面向量的柯西不等式，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设，则讨论：什么时候取等号？(当且仅当时取等号，假设)联想：设，，，则有，可联想到一些什么？③讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？(注意分类)要点：令，则.又，从而结合二次函数的图像可知，≤0即有要证明的结论成立.(注意：分析什么时候等号成立.)④变式：.(讨论如何证明)2.教学柯西不等式的应用：①出示例1：已知，求的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？→板演→变式：②练习

7、：若，且，求的最小值.③出示例2：若>>，求证：.要点：3.小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1.练习：教材P414题；2.作业：教材P415、6题。