2.2.4平面与平面平行的性质课

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1、2.2.4平面与平面平行的性质1自学导引(学生用书P41)21.掌握平面与平面平行的性质定理.明确由面面平行可推出线面平行.2.结合具体问题体会空间与平面的转化关系.3课前热身(学生用书P41)41.如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线______.2.如果一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它与另一个也______.3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面________.平行相交平行5名师讲解(学生用书P41)61.正确使用线､面平行的性质定理与判定定理在使用判定定理和性质定理时,要注意定理中的条件.如使用两

2、平面平行的性质定理容易出现错误:“如果α∥β且aα,bβ,那么有a∥b.”显然这一结论是错误的.必须强调辅助平面γ,且有γ∩α=a,γ∩β=b,α∥β,那么才有a∥b成立.再如利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行时,最容易忽略掉“平面外一条直线”这一条件.要避免此错误的出现,关键是明确:与平面α内直线a平行的直线b和α存在这样两种位置关系:b∥α和bα,即不仅有平行而且还有在平面内的情况.72.辅助线､辅助面的作法在证线面､面面平行的有关问题时,常需要辅助线或辅助面,证题时要特别注意两点:一是所作的辅助线或面需要有理论根据;二是辅助线或辅助面具

3、有什么性质,一定要以某一性质定理为依据决不能随意添加.83.线､面平行问题的转化关系94.面面平行的性质定理的几个常用结论(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面之间的平行线段相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.10典例剖析(学生用书P42)11题型一证明线面平行例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CD的中点,F为B1C1的中点.求证:EF∥平面BB

4、1D1D.12分析:如下图所示.要证线面平行,可先证面面平行,取BC的中点H,连结FH､EH.易证平面EFH∥平面BB1D1D.再用两面平行的性质得证.13证明:如上图,取BC的中点H.连结EH,FH.∵E为CD的中点.∴EH∥BD,EH平面BB1D1D.∴EH∥平面BB1D1D.又F为B1C1的中点.∴FB1BH,∴BHFB1为平行四边形,14∴FH∥BB1,又FH平面BB1D1D.∴FH∥平面BB1D1D.又FH∩EH=H,∴平面EFH∥平面BB1D1D.∴EF∥平面BB1D1D.15规律技巧:在证明线面平行时,常用:线线平行,线面平行,面面平

5、行进行相互转化,达到证题的目的.16变式训练1:如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1底面为等腰直角三角形,∠ABC=90°,P､Q分别为A1B和CC1的中点,求证:PQ∥平面A1B1C1.17证法一:如图(1)所示,取A1B1的中点D,连结DP､DC1,则有DP.又Q为CC1的中点,∴DPQC1.∴四边形PQC1D是平行四边形,∴PQ∥C1D.又PQ平面A1B1C1,C1D平面A1B1C1,∴PQ∥平面A1B1C1.18证法二:如图(2)所示,取BB1的中点E,连结EP､EQ,则有PE∥A1B1,QE∥B1C1.又PE平面A1B1C1,QE平

6、面A1B1C1,A1B1平面A1B1C1,B1C1平面A1B1C1,∴PE∥平面A1B1C1,QE∥平面A1B1C1.又PE平面PQE,QE平面PQE,PE∩QE=E,∴平面PQE∥平面A1B1C1.又PQ平面PQE,∴PQ∥平面A1B1C1.19题型二证明面面平行例2:已知a,b是异面直线,a平面α,b平面β,a∥β,b∥α,求证:α∥β.分析:要证α∥β,由判定定理知,在β内找出两条相交直线都平行于α.由已知,bβ,b∥α,再找出一条直线a′∥α.这需要作辅助平面γ,使γ∩α=a,γ∩β=a′,只要a′∥a,就可得α∥β,具体如何作出辅助平面

7、γ,请看证明.20证明:在b上任取一点P,设直线a与点P确定平面为γ,如上图所示.设β∩γ=a′,∵a∥β,∴a′∥a,∴a′∥α.又b∥α,且a′∩b=P,a′β,bβ,∴α∥β.21变式训练2:已知:平面α∥平面β,平面β∥平面γ.求证:α∥γ.证明:如图,作两个相交平面分别与α､β､γ交于a､c､e和b､d､f.∵α∥β,∴a∥c,b∥d.又β∥γ,∴c∥e,d∥f.∴a∥e,b∥f,又a与b相交,∴α∥γ.22题型三综合性问题例3:如下图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,点D､D1分别为AC､A1C1上的点.(1)当frac{A_1D_1

8、}{D_1C_1}的值等于何值时,BC1∥平面AB1D1;(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求frac{AD}{DC