切线长定理及其应用

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1、【本讲教育信息】一.教学内容：切线长定理及其应用 二.重点、难点：重点：切线长定理以及应用难点：切线长定理的题设、结论 三.具体内容： 1.切线长：经过圆外一点向圆引两条切线，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长。2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两切线的夹角。 【典型例题】[例1]如图，⊙O分别切△ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BC=a，CA=b，AB=c，（1）求AD、BE、CF的长；（2）若∠C=90°，求△ABC内切圆半径r。解：（1）∵⊙O切△ABC三边A

2、B、BC、CA于D、E、F∴AD=AF，BD=BE，CE=CF∴∵BC=a，CA=b，AB=c∴同理  （2）连结OE、OF∵⊙O与AB、BC切于D、E  ∴OE⊥BC，OF⊥AC∵∠C=90°  ∴四边形OECF为矩形又∵OE=OF  ∴四边形OECF为正方形∴OE=OF=CE=CF由（1）知∴内切圆半径 [例2]如图，⊙O切△ABC的边BC于D，切AB、AC延长线于E、F，△ABC的周长为18，求AE。解：由已知得CF=CD，BD=BE，AE=AF∴AB+AC+BC=AB+AC+CD+BD            =AB+AC+CF+B

3、E=AE+AF=2AE∵△ABC周长为18   ∴ [例3]如图，在中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB为半径作⊙D，求证：（1）AC是⊙O切线；（2）AB+EB=AC。证明：（1）作DF⊥AC于F∵AD平分∠BAC  ∴DB=DF∴AC切⊙D于F（2）由（1）知，AC切⊙D于F又∵∠B=90°  ∴AB切⊙D于B  ∴AB=AF又在和中∴∴CF=BE  ∴AC=AF+CF=AB+EB [例4]如图，CB、CD与⊙O切于B、D，AB为⊙O直径，⊙O半径为r。求证：AD//OC。证明：连结O

4、D∵CB、CD切⊙O于B、D∴OD⊥CD，OB⊥CB，∠1=∠2∴∠3=∠4∵OA=OD   ∴∠A=∠5∵∠BOD=∠3+∠4=∠A+∠5∴2∠3=2∠5   ∴∠3=∠5∴AD//OC [例5]如图，两同心圆O，PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点，求证：AC=BD。证明：连结PO∵PA、PB为大圆切线  ∴PA=PB，∠APO=∠BPO又∵PC、PD为小圆切线∴PC=PD，∠CPO=∠DPO∴∠APC=∠APO－∠CPO=∠BPO－∠DPO=∠BPD∴在△PAC和△PBD中∴△PAC≌△PBD

5、  ∴AC=BD [例6]如图，AB是⊙O直径，AD、BC、CD切⊙O于A、B、E，求证：OC⊥OD。证明：∵AD、BC、CD切⊙O于A、B、E∴DO平分∠ADE，CO平分∠BCE∴∠1=∠2=∠ADE，∠3=∠4=∠BCE∵AB是⊙O的直径，AD、BC切⊙O于A、B∴AB⊥AD，AB⊥BC  ∴AD//BC∴∠ADC+∠BCE=180°∴∠2+∠4=∠ADE+∠BCE=（∠ADE+∠BCE）=90°∴∠COD=90°  ∴OC⊥OD 【模拟试题】 1.如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，D为上一点，且∠A=70°，则∠BDC=（

6、   ）A.250°       B.120°       C.125°       D.115°2.如图，PQ、PR、AB是⊙O的切线，切点分别为Q、R、S，若∠APB=40°，则∠AOB=（   ）A.50°         B.60°         C.70°         D.80°3.如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，AB=20，DE是⊙O的切线与AB、AC分别交于D、E两点，则△ADE的周长是（   ）A.20            B.40             C.60            D.804.PA、PB

7、分别切⊙O于A、B，DE切⊙O于C，DE分别交线段PA、PB于D、E；若⊙O半径长为6cm，PO的长为10cm，则△PED的周长为         。5.已知：⊙O的半径为4cm，PO=8cm，则过P点的⊙O的两条切线长为       cm；这两条切线的夹角为       。6.如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠APB=68°，则∠DOE=            ，∠AOB=          。    【试题答案】 1.C    2.C3.B       4.16cm       5.；60°6.56°；112°