《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》课件6

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1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示问题引航1.空间向量基本定理是什么？利用单位正交基底是如何定义空间直角坐标系的？2.满足哪些条件的向量能作为基底？空间向量基本定理与平面向量基本定理有哪些异同？1.空间向量的分解(1)条件:i，j，k是空间三个_________的向量.(2)结论:对空间任一向量p，存在一个有序实数组{x，y，z}，使得p=xi+yj+zk，我们称_________为向量p在i，j，k上的分向量.2.空间向量基本定理(1)条件:向量a，b，c_______.(2)结论:对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p=______

2、___.两两垂直xi，yj，zk不共面xa+yb+zc3.基底(1){a，b，c}是空间的一个基底的条件:a，b，c_______.(2)基向量:空间的一个基底{a，b，c}中的向量a，b，c叫做基向量.(3)单位正交基底:向量e1，e2，e3为有__________且____________________.不共面公共起点O两两垂直的单位向量4.空间直角坐标系(1)原点:以单位正交基底e1，e2，e3的__________为原点.(2)方向:分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴_______.(3)坐标:若向量p=xe1+ye2+ze3，则把x，

3、y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标.记作p=________.公共起点O正方向(x，y，z)1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.()(2)向量的坐标与点P的坐标一致.()(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0=λ1a1+λ2a2+λ3a3.()【解析】(1)错误.只要三个向量不共面就可作为空间向量的一组基底，故此种说法错误.(2)错误.向量的坐标不一定对应点的坐标，只有以原点为起点的向量的坐标与对应有向线段终点的坐标一致.(3)错误.由

4、空间向量基本定理，对空间中的任意向量a都存在有序实数组{λ1，λ2，λ3}，使得a=λ1a1+λ2a2+λ3a3，故此种说法错误.答案:(1)×(2)×(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a=2i-j+3k，则向量a的坐标为.(2)若向量a，b，c为空间向量的正交基底，则向量a，b，c的位置关系是.(3)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知AB=AD=2，BB1=1，则的坐标为，的坐标为.【解析】(1)由向量的单位正交表示知向量a的坐标为

5、(2，-1，3).答案:(2，-1，3)(2)由正交基底的定义知，只有当向量a，b，c两两垂直时，才能成为空间向量的正交基底，故向量a，b，c的位置关系是两两垂直.答案:两两垂直(3)根据已建立的空间直角坐标系知A(0，0，0)，C1(2，2，1)，D1(0，2，1)，则的坐标为(0，2，1)，的坐标为(2，2，1).答案:(0，2，1)(2，2，1)【要点探究】知识点1空间向量基本定理空间向量基本定理的三个关注点:(1)空间任意向量:用空间三个不共面的向量a，b，c可以线性表示出空间中任意一个向量，而且表示的结果是惟一的.(2)基底的选取:空间任意三个不共

6、面的向量都可以作为空间向量的一个基底.(3)顺序性:向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，p=xe1+ye2+ze3，则p的坐标为(x，y，z).【知识拓展】1.空间向量基本定理的证明存在性证明的四个步骤(如图)(1)平移：把不共面的向量a，b，c与向量p平移到公共的起点O上，使=a，=b，=c，=p.(2)平行投影：过点P作直线PP′平行于OC，交平面OAB于点P′；在平面OAB内，过点P′作直线P′A′∥OB，P′B′∥OA，分别与直线OA，OB相交于点A′，B′.(3)表示：存在三个实数x，y，z，使(4)求和代入：2

7、.空间向量基本定理中实数组{x，y，z}惟一性的证明设还有实数x′，y′，z′，使p=x′a+y′b+z′c，因为p=xa+yb+zc，则x′a+y′b+z′c=xa+yb+zc，所以有(x′-x)a+(y′-y)b+(z′-z)c=0.又因为a，b，c不共面，所以有x=x′，y=y′，z=z′，故空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是惟一的.【微思考】(1)空间向量的基底与基向量是同一概念吗？提示:不是.一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.(2)0可以是基向量吗？提示:不可以.由于0可看作是与任意一个非零向量共

8、线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐