1.2.4 分段函数及映射

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1、1.2.4分段函数及映射【学习目标】1．了解映射的概念及其表示方法．2．结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．4．能解决简单函数的应用问题．1．分段函数所谓“分段函数”，习惯上是指在定义域的不同部分，有不同的________的函数．解析式值域是___________________．－3(－∞，1)∪[3，＋∞)2．映射(1)设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中__________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的_______

2、___．都有唯一一个映射(2)由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是__________．函数非空数集练习2：在映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)

3、x，y∈R}，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与A中的元素(－4,3)对应的B中的元素为__________．(－7，－1)【问题探究】1．用图表示下列两个集合A，B的元素之间的一些对应关系．(1)A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，对应法则：开平方；(2)A＝{－3，－2，－1,1,2,3}，B＝{1,4,9}，对应法则：

4、平方；求正弦．(2)答案：1．(1)(3)2．分段函数是一个函数还是几个函数？答案：一个题型1分段函数若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为______．答案：－34分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来处理相关问题．首先要确定自变量的值属于哪一个区间，从而选定相应表达式代入计算．特别地，要注意分段区间端点的取舍．【变式与拓展】1．(2011年北京)根据统计，一名工人组装第x件某产品所已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16故选D.答案：D题型2分段函数的应用【例2

5、】如图1-2-3，一动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A.若点P运动的路程为x，点P到顶点A的距离为y，求A，P两点间的距离y与点P运动的路程x之间的函数关系式．图1-2-3思维突破：利用数学知识建立相应的数学模型，求目标函数解析式．本题需要对点P的位置进行分类讨论，确定y与x之间的函数关系．解：(1)当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x.(2)当点P在BC上，即1

6、＝3－x.根据勾股定理，得AP2＝AD2＋DP2，(4)当点P在AD上，即3

7、角三角形，AB＝4，BP＝x，y＝2x，x∈[0,4]；当点P由点C向点D移动时，△ABP是以AB＝4为底、高为4的三角形，所以y＝8，x∈(4,8]；当点P由点D向点A移动时，△ABP为直角三角形，其中AB＝4，另一直角边为12－x，所以y＝2(12－x)，x∈(8,12]．综上所述，所求函数关系式是题型3映射的概念【例3】图1-2-5建立了集合P中元素与集合M中元素的对应关系f，其中为映射的是哪几个？为什么？图1-2-5思维突破：根据映射的定义进行判断．(1)集合P中的元素－3在集合M中没有元素与之对应；(3)集合P中的元素2对应集合M中的元素3和4，不唯一，因此它也不

8、是映射；(4)集合P中的元素1对应集合M中的元素0.5和8，一对多，也不是映射；(2)(5)是映射，符合映射的定义要求．解：(1)(3)(4)都不是映射，因为(1)判断一个对应关系A→B是否为映射，主要的依据是：①集合A中的元素是否在集合B中都有元素与之对应；②集合A中任一个元素在集合B中有唯一的元素与之对应．(2)本题利用数图构建的对应关系直观地给出了集合间的对应关系．利用映射的概念判断以上数图是否为映射，只需看一看是否满足“一对一”或“多对一”的关系，且P中元素是否有剩余．【变式与拓展】3．已知A＝{x

9、0≤x