2018版高中数学第1讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介练习新人教a版

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1、四柱坐标系与球坐标系简介一、基础达标1.在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为(　　)A.(2，0，3)B.C.D.解析　由点的空间柱坐标的意义可知，选B.答案　B2.空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是(　　)A.B.C.D.解析　由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面yOz内.答案　A3.设点M的直角坐标为(2，0，2)，则点M的柱坐标为(　　)A.(2，0，2)B.(2，π，2)C.(，0，2)D.(，π，2)解析　设点M的柱坐

2、标为(ρ，θ，z)，∴ρ＝＝2，tanθ＝＝0，∴θ＝0，z＝2.∴点M的柱坐标为(2，0，2).答案　A4.若点M的球坐标为，则它的直角坐标为(　　)A.(－6，2，4)B.(6，2，4)C.(－6，－2，4)D.(－6，2，－4)解析　由x＝8sincos＝－6，y＝8sinsin＝2，z＝8cos＝4，得点M的直角坐标为(－6，2，4).答案　A5.已知点M的球坐标为，则点M到Oz轴的距离为________.解析　设M的直角坐标为(x，y，z)，则由(r，φ，θ)＝，知x＝4sincosπ＝－2

3、，y＝4sinsinπ＝2，z＝rcosφ＝4cos＝2.∴点M的直角坐标为(－2，2，2).故点M到Oz轴的距离＝2.答案　26.已知点P1的球坐标是P1，P2的柱坐标是P2，则

4、P1P2

5、＝________.解析　点P1的直角坐标为(2，－2，0)点P2的直角坐标为(，1，1)，由两点距离公式得

6、P1P2

7、＝.答案　7.已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，求这两个点的直角坐标.解　设点P的直角坐标为(x，y，z)，则x＝4cos＝4×＝－2，y＝4sin＝4×＝2，z＝－.设点B的直角坐标为(x，

8、y，z)，则x＝8sincos＝8××＝2，y＝8sinsin＝8××＝2，z＝8cos＝8×＝4.所以点P的直角坐标为(－2，2，－)，点B的直角坐标为(2，2，4).二、能力提升8.已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为(　　)A.P点(5，1，1)，B点B.P点(1，1，5)，B点C.P点，B点(1，1，5)D.P点(1，1，5)，B点解析　设P点的直角坐标为(x，y，z)，x＝·cos＝·＝1，y＝·sin＝1，z＝5.设B点的直角坐标为(x，y，z)，x

9、＝·sin·cos＝··＝，y＝·sin·sin＝··＝，z＝·cos＝·＝.所以，点P的直角坐标为(1，1，5)，点B的直角坐标为.答案　B9.在球坐标系中，方程r＝1表示____________，方程φ＝表示空间的____________.答案　球心在原点，半径为1的球面　顶点在原点，中心轴为z轴，轴截面顶角为的上半个圆锥面10.已知柱坐标系Oxyz中，若点M的柱坐标为，则

10、OM

11、＝________.解析　∵(ρ，θ，z)＝，设M的直角坐标为(x，y，z)，则x2＋y2＝ρ2＝4，∴

12、OM

13、＝＝＝

14、3.答案　311.在球坐标系中，求两点P，Q的距离.解　设P，Q两点球坐标转化为直角坐标.设点P的直角坐标为(x，y，z)，x＝3sincos＝，x＝3sinsin＝，z＝3cos＝3×＝.∴P.设点Q的直角坐标为(x1，y1，z1)，x1＝3sincos＝－，y1＝3sinsin＝，z1＝3cos＝.∴点Q.∴

15、PQ

16、＝＝.即P，Q两点间的距离为.12.在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)的围成的几何体的体积.解　根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M

17、(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，∴V＝Sh＝πr2h＝2π.三、探究与创新13.在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系.有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A、B，飞机从A到B应该走怎样的航线最快？所走的路程有多远？解　如图所示，∵A、B，∴∠AOO1＝∠BOO1＝.设赤道面上与A、B经度相同的点分别为C、D，x轴与赤道大圆的交点为E，则∠EOC＝，∠EOD＝，∴∠COD＝－＝.

18、∴∠AO1B＝∠COD＝.在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，∴O1B＝R，同理O1A＝R.∵∠AO1B＝，∴AB＝R.在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝.则经过A、B两地的球面距离为R.答：走经过A、B两地的大圆，飞机航线最短，其距离为R.