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《2019_2020学年高中数学第1讲坐标系4柱坐标系与球坐标系简介学案新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、四 柱坐标系与球坐标系简介学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题．(难点、易错点)教材整理1 柱坐标系阅读教材P16～P17“思考”及以上部分，完成下列问题．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数
2、组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞＜Z＜＋∞.已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为( )A．(1,1,0) B．(1,0,1)C．(0,1,1)D．(1,1,1)[解析] ∵x＝ρcosθ＝1，y＝ρsinθ＝0，z＝1，∴直角坐标为(1,0,1)，故选B.[答案] B教材整理2 球坐标系阅读教材P17～P18，完成下列问题．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是
3、空间任意一点，连接OP，记
4、OP
5、＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.已知点A的球坐标为，则点A的直角坐标为( )A．(3,0,0)B．(0,3,0)C．(0,0,3)D．(3
6、,3,0)[解析] ∵x＝3×sin×cos＝0，y＝3×sin×sin＝3，z＝3×cos＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．故选B.[答案] B点的柱坐标与直角坐标互化【例1】 (1)设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标；(2)设点N的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．[思路探究] (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式求出ρ，θ即可．(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式求出x，y，z即可．[自主解答] (1)设M的柱坐标为(ρ，θ，z)，则由解之得，ρ＝，θ＝，因此，
7、点M的柱坐标为.(2)设N的直角坐标为(x，y，z)，则由得∴因此，点N的直角坐标为(－π，0，π)．1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)；(2).[解] 设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)因此所求点的直角坐标为(－，1,3)．(2)因此所求点的直角坐标为(－1,1,2)
8、.将点的球坐标化为直角坐标【例2】 已知点M的球坐标为，求它的直角坐标．[思路探究] [自主解答] 设点的直角坐标为(x，y，z)，则因此点M的直角坐标为(－1,1，－)．1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π.2．化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式转化为三角函数的求值与运算．2．若例2中“点M的球坐标改为M”，试求点M的直角坐标．[解] 设M的直角坐标为(x，y，z
9、)，则∴因此M的直角坐标为.空间点的直角坐标化为球坐标【例3】 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，底面正方形ABCD的边长为1，棱AA1的长为，如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标和球坐标．[思路探究] 先确定C1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．[自主解答] 点C1的直角坐标为(1,1，)．设C1的球坐标为(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，由x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，得r＝＝＝2.由z＝rcosφ，∴c
10、osφ＝，φ＝，又tanθ＝＝1，∴θ＝，从而点C1的球坐标为.1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以设点M的球坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式求出r，θ，φ.2．利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝，cosφ＝，特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无
