2018版高中数学第1讲坐标系一平面直角坐标系练习新人教a版

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1、一平面直角坐标系一、基础达标1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝0，则曲线C的方程为(　　)A.25x2＋9y2＝0B.25x2＋9y2＝1C.9x2＋25y2＝0D.9x2＋25y2＝1解析　将伸缩变换代入x′2＋y′2＝0，得25x2＋9y2＝0，此即为曲线C的方程.答案　A2.平行四边形ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1，2)，(3，0)，(5，1)，则顶点D的坐标是(　　)A.(9，－1)B.(－3，1)C.(1，3)D.(2，2)解析　设D(x，y)，则由题意，得＝，即(4，－2)＝(5－x，1－y)，∴即D

2、(1，3).答案　C3.已知四边形ABCD的顶点分别为A(－1，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(－1，1)，四边形ABCD在伸缩变换(a>0)的作用下变成正方形，则a的值为(　　)A.1B.2C.D.解析　如图，由矩形ABCD变为正方形A′B′C′D′，已知y′＝y，∴边长为1，∴AB长由2缩为原来的一半，∴x′＝x，∴a＝.答案　C4.已知f1(x)＝sinx，f2(x)＝sinωx(ω>0)，f2(x)的图象可以看作把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的(纵坐标不变)而得到的，则ω为(　　)A.B.2C.3D.解析　对照伸缩变换公式φ：由y

3、＝sinx得到y′＝sinωx′故，即.∴＝，∴ω＝3.答案　C5.若点P(－2016，2017)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________.解析　∵P(－2016，2017)经过伸缩变换得代入x′y′＝k，得k＝x′y′＝－1.答案　－16.可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为________.解析　将椭圆方程＋＝1，化为＋＝4，∴＋＝4.令得x′2＋y′2＝4，即x2＋y2＝4.∴伸缩变换为所求.答案　7.在同一平面直角坐标系中，求将曲线x2－2y2－3x＝0变成曲线x′2－8y′2－12x′＝0的伸缩变换.解　令伸缩变换为将其代入

4、x′2－8y′2－12x′＝0得λ2x2－8μ2y2－12λx＝0，与x2－2y2－3x＝0.进行比较，得故从而伸缩变换为二、能力提升8.在平面直角坐标系中，方程3x－2y＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换后的直线方程为(　　)A.3x′－4y′＋1＝0B.3x′＋y′－1＝0C.9x′－y′＋1＝0D.x′－4y′＋1＝0解析　由伸缩变换得代入方程3x－2y＋1＝0有9x′－y′＋1＝0.答案　C9.平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：作用下仍是其本身的点为________.解析　设P(x，y)在伸缩变换φ：作用下得到P′(λx，μy).依题意得其中λ>0，μ>0，λ≠1

5、，μ≠1.∴x＝y＝0，即P(0，0)为所求.答案　(0，0)10.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则x2＋y2的最大值和最小值分别为________.解析　x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.答案　7＋4；7－411.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.(1)5x＋2y＝0；(2)x2＋y2＝2.解　(1)由伸缩变换得将其代入5x＋2y＝0

6、，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′＋3y′＝0.所以经过伸缩变换后，直线5x＋2y＝0变成直线5x′＋3y′＝0.(2)将代入x2＋y2＝2，得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝2，即＋＝1.所以经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝2变成椭圆＋＝1.12.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处.求城市B处于危险区内的时间.解　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40，0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处

7、于危险区.台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝＝20.求得

8、MN

9、＝2＝20(km)，故＝1，所以城市B处于危险区的时间为1h.三、探究与创新13.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)，观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，