0910线性代数真题及答案

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1、全国2009年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中，表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，是单位矩阵，表示方阵的行列式，表示矩阵的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．行列式第二行第一列元素的代数余子式=（B）A．-2B．-1C．1D．2解：2．设为2阶矩阵，若=3，则（　C　）A．B．1C．D．2解：，∴3．设阶矩阵、、满足，则（　A　）A．B．C．D

2、．解：浙04184#线性代数（经管类）试题　第13页共13页4．已知2阶矩阵的行列式，则（　A　）A．B．C．D．解：∵5．向量组的秩不为零的充分必要条件是（　B　）A．中没有线性相关的部分组B．中至少有一个非零向量C．全是非零向量D．全是零向量6．设为矩阵，则元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（　C　）A．B．C．D．7．已知3阶矩阵的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（　D　）A．B．C．D．解：∵的特征值为-1，0，1∴它的特征多项式分别为：8．下列矩阵中不是初等矩阵的为（　D　）A．B．浙04184#线性

3、代数（经管类）试题　第13页共13页C．D．9．4元二次型的秩为（　B　）A．1B．2C．3D．4解：与此二次型相对应的实对称矩阵为所以，其秩为2.10．设矩阵，则二次型的规范形为（　D　）A．B．C．D．解：设，则令∴再令，则浙04184#线性代数（经管类）试题　第13页共13页二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11．已知行列式，则__2____.解：∴12．已知矩阵，且，则=______.解：13．设矩阵，则.解：∵浙04184#线性代数（经管类）试题　第

4、13页共13页∴，14．已知矩阵方程，其中，则.解：∵15．已知向量组线性相关，则数_1_____.解：令三向量所拼成行列式则时，向量组线性相关。16．设向量组，且，则向量组的秩为___2___.解：17．已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为，若该方程组无解，则的取值为______.18．已知3阶矩阵的特征值分别为1，2，3，则

5、E+A

6、=__24____.浙04184#线性代数（经管类）试题　第13页共13页解：∵3阶矩阵的特征值分别为1，2，3∴存在可逆矩阵使得即19．已知向量与正交，则数.解：∵20．已知3元二次型正定，

7、则数的最大取值范围是______.解：三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21．计算行列式的值.解：浙04184#线性代数（经管类）试题　第13页共13页22．设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，求

8、

9、.解：∵，，，，，而，23．已知线性方程组(1)讨论常数满足什么条件时，方程组有解．(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．解：（1）将其增广矩阵化为简化行阶梯形矩阵T因此，当时，方程组有解；（2）根据T写出该方程组的同解方程为：3个未知数2个方程，必有1个自由未知量，这里

10、取为自由未知量，令得，，得该线性方程组的特解浙04184#线性代数（经管类）试题　第13页共13页再根据T写出该方程组导出组的同解方程为：，再令得，∴该方程组导出组的同解方程的一个基础解系为该方程组的通解为，k为任意实数。24．设向量组，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．解：把所有为列向量形成4×4的矩阵，并将其化为简化行阶梯形矩阵B即为A的简化行阶梯形矩阵。易见B的秩为3，即A的秩也为3，即；向量组是B的一个极大无关组，从而,向量组就是A的一个极大无关组，，从而有，25．设矩阵，存在，使得浙

11、04184#线性代数（经管类）试题　第13页共13页；存在使得.试求可逆矩阵，使得.解：由，使得；可知是的属于其特征值5的特征向量，是的属于其特征值-1的特征向量；因此，可得为可逆矩阵，并有；同时，可知是的属于其特征值5的特征向量，是的属于其特征值-1的特征向量；因此，可得为可逆矩阵，并有；∴，，∴由得∴26．已知二次型，求一正交变换，将此二次型化为标准形．解：由二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3可得其相对应的对称矩阵为∴该方阵的特征多项式为浙04184#线性代数（经管类）试题　第13页共13页属

12、于的特征向量满足的齐次线性（矩阵）方程组为3个未知数一个方程，必有2个自由未知量，这里取为自由未知量，取，都得∴可得两个特征向量和属于的特征向量满足的齐次线性（矩阵）方程组为3个未知数2个方程，必有1个自由未知量，这里取为自由未知量，取，得∴可得两个特征向量浙04184#线性