1.3.1 二项式定理(学案)

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1、1.3.1二项式定理学案广东省信宜市第XX中学高二级数学组陈XX【教学目标】【学情分析】【教学重难点】1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。2、难点：二项式定理的发现。【教学过程】1、情景设置问题1：若今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢？预期回答：星期一问题2：如果是15天后的这一天呢？预期回答：星期二，将问题转化为求“15被7除后算余数”是多少。问题3：如果是天后的这一天呢？预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少，也就是研究的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授第一步：让学生展开；；公元1世纪《九章算术》其中提及：

2、尝试二项式定理的发现；；-7-初步归纳出下式：（※）练习：展开教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑如何展开以及呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。）继续新授师：为了寻找规律，我们将中第一个括号中的字母分别记成；第二个括号中的字母分别记成；依次类推。请再次用多项式乘法运算法则计算：………………………………………（设计意图：上

3、述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。）问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项？这里的字母各来自哪个括号？问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗？问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。每个括号只能取一个字母，任取两个、两个，然后相乘，问不同的取法有几种？）问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子：-7-括号中的系数全

4、部用组合数的形式进行填写。呈现二项式定理——板书课题：。3、深化认识请学生总结：①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？②二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。）4、巩固应用【例1】展开①②【例2】①求的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。②求的展开式中含项的系数。变式：在二项式定理中，令，得到怎样的公式？思考：为什么？-7-【例3】解

5、决起始问题：，前面是7的倍数，因此余数为，故应该为星期二。说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。四、课堂小结①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。②二项式定理的表达式以及展开式的通项，③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，④将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。二项式定理由多项式乘法法则得(a+b)2的展开式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2；从上述过程中可以发现，(a+b)n是n个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)相乘时有两个选择，选a

6、或选b，而且每个(a+b)中的a或b选定后，才能得到展开式的一项，由分步乘法计数原理，可以得到这样的项的项数，然后合并同类项。探索(a+b)4的展开式的形式。4个括号中取a和取b的个数和为4，即每一项的形式是a4-kbk，（1）k=0时，a4-kbk=a4，四个括号中全都取a，相当于取0个b，有C40项a4，即a4的系数为得：C40；（2）k=1时，四个括号中有1个取b，剩下的3个取a，得：C41a3·C33b（3）k=1时，四个括号中有2个取b，剩下的2个取a，得：C42a2·C22b2（4）k=3时，四个括号中有3个取b，剩下的1个取a，得：C43a·C11b3（5）k=4时

7、，四个括号中全都取b，得：C44b4(a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b4(a+b)n的展开式又是什么呢？猜想：证明：对（a+b）n分类，按b可以分n+1类，⑴不取b：Cn0an；⑵取1个b：Cn1an-1b；⑶取2个b：Cn1an-2b2；………………(k+1)取k个b：Cnkan-kbk；………………(n+1)取n个b：Cnnbn；-7-然后将上述过程合起来，就得到二项展开式，(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn