1.3.1二项式定理

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1、1.3.1二项式定理教学目标:知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学重点:二项式定理及通项公式的掌握及运用教学难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用授课类型:新授课课时安排:3课时教具:多媒体、实物投影仪内容分析:二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二

2、项式定理主要包括:定理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等.通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成.二项式定理本身是教学重点,因为它是后面一切结果的基础.通项公式,杨辉三角,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点.二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为,证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法.在教学中,努力把表现的机会让给学生,

3、以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识,以使他们能在再创造的氛围中学习.教学过程:一、复习引入:⑴;⑵⑶的各项都是次式,即展开式应有下面形式的各项:,,,,,展开式各项的系数:上面个括号中,每个都不取的情况有种,即种,的系数是;恰有个取的情况有种,的系数是,恰有个取的情况有种,的系数是,恰有个取的情况有种,的系数是,有都取的情况有种,的系数是,∴.二、讲解新课:二项式定理:⑴的展开式的各项都是次式,即展开式应有下面形式的各项:,,…,,…,,⑵展开式各项的系

4、数:每个都不取的情况有种,即种,的系数是;恰有个取的情况有种,的系数是,……,恰有个取的情况有种,的系数是,……,有都取的情况有种,的系数是,∴,这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫的二项展开式,⑶它有项,各项的系数叫二项式系数,⑷叫二项展开式的通项,用表示,即通项.⑸二项式定理中,设,则三、讲解范例:例1.展开.解一:.解二:.例2.展开.解:.例3.求的展开式中的倒数第项解:的展开式中共项,它的倒数第项是第项,.例4.求(1),(2)的展开式中的第项.解:(1),(2).点评:,的展开后结果相同,但展开式中的第项不相同

5、例5.(1)求的展开式常数项;(2)求的展开式的中间两项解:∵,∴(1)当时展开式是常数项,即常数项为;(2)的展开式共项,它的中间两项分别是第项、第项,,例6.(1)求的展开式的第4项的系数;(2)求的展开式中的系数及二项式系数解:的展开式的第四项是,∴的展开式的第四项的系数是.(2)∵的展开式的通项是,∴,,∴的系数,的二项式系数.例7.求的展开式中的系数分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,然后再用一次二项式定理,,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开解:(法一

6、),显然,上式中只有第四项中含的项,∴展开式中含的项的系数是(法二):∴展开式中含的项的系数是.例8.已知的展开式中含项的系数为,求展开式中含项的系数最小值分析:展开式中含项的系数是关于的关系式,由展开式中含项的系数为,可得,从而转化为关于或的二次函数求解解:展开式中含的项为∴,即,展开式中含的项的系数为,∵,∴,∴,∴当时,取最小值,但,∴时,即项的系数最小,最小值为,此时.例9.已知的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项解:由题意:,即,∴舍去)∴①若是常数项,则,

7、即,∵,这不可能,∴展开式中没有常数项;②若是有理项,当且仅当为整数,∴,∴,即展开式中有三项有理项,分别是:,,例10.求的近似值,使误差小于.解:,展开式中第三项为,小于,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,∴,一般地当较小时四、课堂练习:1.求的展开式的第3项.2.求的展开式的第3项.3.写出的展开式的第r+1项.4.求的展开式的第4项的二项式系数,并求第4项的系数.5.用二项式定理展开:(1);(2).6.化简:(1);(2)7.展开式中的第项为,求.8.求展开式的中间项答案:1.2.3.4.展开式的第4项的二项式系数,第4项的

8、系数5.(1);(2).6.(1);(2)7.展开式中的第项为8.展开式的中间项为五、小结:二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明;二项式定理及通项公式的特点六、课后作业:P36习题1.3A组1.2.3.4七

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