2011年湖南高考数学试题(理科)

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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。参考公式：（1），其中为两个事件，且，（2）柱体体积公式，其中为底面面积，为高。（3）球的体积公式，其中为求的半径。一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1.若，为虚数单位，且，则（D）A．B．C．D．2.设，，则“”是“”则（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（B）A．B．

2、C．D．4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（C）A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”10C．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”5.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（C）A．4B．3C．2D．16.由直线与曲线所围成的封闭图

3、形的面积为（D）A．B．1C．D．7.设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为（A）A．B．C．D．8.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（D）A．1B．C．D．二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为2。10.设,则的最小值为9。1

4、1.如图2，是半圆周上的两个三等分点，直径，,垂足为D,与相交与点F，则的长为。10二、必做题（12~16题）12、设是等差数列的前项和，且，则2513、若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于2/3。14、在边长为1的正三角形中，设，则15、如图4，是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）；（2）16、对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则（1）2（2）1093三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写

5、出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．解析：（I）由正弦定理得因为所以（II）由（I）知于是10取最大值2．综上所述，的最大值为2，此时18.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。(Ⅰ）求当天商品不进货的概率；（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品

6、的件数，求X的分布列和数学期望。解析：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量1件”）=。（II）由题意知，的可能取值为2，3.；故的分布列为23的数学期望为。19.（本题满分12分）如图5，在圆锥中，已知的直径10的中点．（I）证明：（II）求二面角的余弦值．解：（I）连接，因为,为的中点，所以.又因为内的两条相交直线，所以而，所以。（II）在平面中，过作于，由（I）知，,所以又所以.在平面中，过作连接,则有，从而，所以是二面角的平面角．在在在在,所以。故二面角的余弦值为。20.10如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面

7、积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。（Ⅰ）写出的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故.（II）由(I)知，当时，当时，故。(1)当时，是关于的减函数.故当时，。(2)当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于10的

8、增函数；故