irn的基和向量关于基的坐标

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1、第四节IRn的基和向量关于基的坐标定义1设IRn中的向量组A：α1 ,α2,…,αn线性无关，β是IRn中任一向量，则β,α1,α2,…,αn线性相关（因为这是n＋1个n维向量，向量个数大于向量维数），于是根据第三章第二节定理2知道向量β可以用α1,α2,…,αn唯一线性表示β＝k1α1+k2α2+…+knαn。我们称向量组A：α1 ,α2,…,αn为空间IRn的一组基(basis),把数k1,k2,…,kn称为向量β在基α1 ,α2,…,αn下的坐标(coordinate)，记为βA＝（k1,k2,

2、…,kn）。例1验证α1＝(1，0，0)′,α2＝(1，1，0)′,α3＝(1，1，1)′为IR3的一组基并求向量α＝(5，3，5)′在这组基下的坐标。解显然，向量组α1，α2，α3组成的矩阵的行列式为111＝1≠0011001因此这三个向量线性无关，所以它们构成IR3的一组基。要求向量α在这组基下的坐标，实际上就是求解关于x1,x2,x3的方程组α＝x1α1＋x2α2＋x3α3。即容易求得x1＝2,x2＝－2,x3＝5，因此向量α在这组基下的坐标为（2，－2，5）当然，对于同一向量β，若选定的基不同

3、，则向量β的坐标一般而言也是不同的。例如e1＝(1,0,0)′,e2＝(0,1,0)′,e3＝(0,0,1)′是IR3的一组基（我们通常称之为IR3的自然基）定义2设向量组A：α 1 ,α 2,…,α  n和向量组B：β1，β  2，…，β  n分别为IR n的两组基，则向量组B：β1，β  2，…，β  n可由向量组A：α 1 ,α 2,…,α  n线性表示，即存在n  2个常数c  i j（i，j＝1，2，…，n）使得若我们所论及的向量均为列向量，则上式写成矩阵的形式为我们称矩阵C为从基A：α 1

4、 ,α 2,…,α  n到基B：β1，β  2，…，β  n的过渡矩阵。定理1过渡矩阵是可逆矩阵定理2设向量α在两组基A：α 1 ,α 2,…,α  n和B：β1，β  2，…，β  n下的坐标分别为x＝[x1,x2,…,xn]′和y＝[y1,y2,…,yn]′.从基A到基B的过渡矩阵为C，即B＝AC，则Cy＝x或y＝C－1x。定义1设a＝(a1，a2，…，an)和b＝(b1，b2，…，bn)是两个n维向量，规定a与b的内积为：(a，b)＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，有时也记为a · b＝a

5、1b1＋a2b2＋…＋anbn。从矩阵的角度，显然(a，b)＝ab＝ba。向量内积具有下列性质：(a，b)＝( b，a)；(a＋b，c)＝( a，c)＋( b，c)；( k a，b)＝k(a，b)，其中k是任意实数；(a，a)≥0，等号成立当且仅当a＝0。定义2向量a的长度或模（length，modulus）定义为一般地，称长度等于1的向量为单位向量定理1（柯西－施瓦兹不等式，Cauchy-Schwarz不等式）向量的内积满足定义3规定向量a和b之间的夹角为如果a，b的夹角等于π/2，则称向量a，

6、b正交。特别，规定零向量与任何向量正交。定理2向量a和b正交（或垂直）的充分必要条件是（a，b）＝0。全体n维实向量构成的集合为n维欧基里得（Euclid）空间，记为IR n定理3IRn中的不含零向量的两两正交的向量组(称为非零正交向量组)a1，a2，…，a r是线性无关的。定义4设a1，a2，…，an是n个n维实向量，若则称a1，a2，…，an是IRn的一组标准正交基施密特（Schmidt）正交化给定向量组a1，a2，…，an线性无关，则我们可以按照下述步骤将其标准正交化①令b1＝a1②令e1＝b1

7、/

8、b1

9、③作b2＝a2－(a2，e1)e1④令e2＝b2/

10、b2

11、⑤令b3＝a3－(a3，e1)e1－(a3，e2)e2⑥令e3＝b3/

12、b3

13、…………第2n－1步：令bn＝an－(an，e1)e1－(an，e2)e2－……－(an，en-1)en－1第2n步：en＝en/

14、en

15、这样我们从线性无关的向量组a1，a2，…，an出发，得到标准正交向量组e1，e2，……，en，(显然，向量组e1，e2，……，en与向量组a1，a2，…，an等价)。此过程我们称为Schmidt正交化过程。例3已知B：a1

16、，a2，a3是IR 3的一组基，其中a1＝(1,1,0)，a2＝(1,0,1)，a3＝(1,1,1)。试用Schmidt正交化方法，由B构造IR 3的一组标准正交基。解取b1＝a1＝(1,1,0)，则b2＝a2－(a2，e1)e1b3＝a3－(a3，e1)e1－(a3，e2)e2正交矩阵定义5n阶方阵A称为正交矩阵是指A满足ATA＝E。定理4A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A的列向量为IRn的一组标准正交基性质设A，B皆为n阶正交矩阵，则1）det