§6.2.1算术平均数与几何平均数(一)

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1、§6.2.1算术平均数与几何平均数(一)2007年5月黄冈中学网校达州分校教学目的：1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等3．通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力教学重点：均值定理证明教学难点：等号成立条件2007年5月黄冈中学网校达州分校a>bbb,b>ca>ca>ba+c>b

2、+ca+b>ca>c-ba>b,c>da+c>b+da>b,c>0ac>bca>b,c<0acb>0,c>d>0ac>bda>b>0an>bn(n∈N,n＞1）对称性传递性可加性移项法则加法法则可乘性乘法法则乘方法则开方法则复习　　不等式的性质:a>b>02007年5月黄冈中学网校达州分校问题:某大商场，在五一节期间举行商品大酬宾活动，准备分两次降价，但有三种实施方案：A：第一次8折销售，第二次再7折销售；B：第一次7折销售，第二次再8折销售；C：第一次折销售，第二次再折销售；试问

3、哪一种实施方案最受顾客欢迎？（假设降价前的价格为M）二、讲解新课：2007年5月黄冈中学网校达州分校解:设降价前的价格为M元，三种实施方案后的销售价格分别是：A:M×0.8×0.7=0.56MB:M×0.7×0.8=0.56MC:M×=0.5625M2007年5月黄冈中学网校达州分校拓展思维A第一次a折销售，第二次再b折销售B第一次b折销售，第二次再a折销售C第一次折销售，第二次再折销售试问哪一种实施方案最受顾客欢迎？（假设降价前的价格为M）2007年5月黄冈中学网校达州分校1.重要不等式的推导ii)定

4、理1如果a、b∈R,那么a²+b²≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)以公式(1)为基础,运用不等式的性质推导公式(2)这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法。i)如果a、b∈R,那么有:(ab)²≥0(1)把(1)式左边展开，得a²2ab+b²≥0∴a²+b²≥2ab(2)(2)式中取等号成立的充要条件是什么？2007年5月黄冈中学网校达州分校推广定理:如果a、b＞0,那么(当且仅当a=b时取“=”号)2007年5月黄冈中学网校达州分校2、探索设a、b、c∈R，依次对其中

5、的两个运用公式(2)，有a²+b²≥2ab;b²+c²≥2bc;c²+a²≥2ca.把以上三式叠加，得a²+b²+c²≥ab+bc+ca(3)(当且仅当a=b=c时取“=”号)从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法—迭代与叠加.a²+b²≥2ab(a、b∈R,当且仅当a=b时取“=”号)2007年5月黄冈中学网校达州分校3、再探索考查两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？考查三个实数的立方和又具有什么性质呢？由于a³+b³=(a+b)(a²ab+b²),启示

6、我们把公式(2)变成a²ab+b²≥ab,两边同乘以a+b，为了得到同向不等式，这里要求a、b>0,得到:a³+b³≥a²b+ab²(4)2007年5月黄冈中学网校达州分校4.考查三个实数的立方和又具有什么性质呢？由公式(3)的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c,c、a迭代(4)式，并应用公式(2)，得2(a³+b³+c³)≥a(b²+c²)+b(c²+a²)+c(a²+b²)≥a·2bc+b·2ca+c·2ab=6abc定理2如果a、b、c＞0,那么a³+b³+c³≥3abc(当且仅当a=b=c

7、时取“=”号)2007年5月黄冈中学网校达州分校5.推论定理1的推论:如果a、b＞0,那么(当且仅当a=b时取“=”号)定理2的推论:如果a、b、c＞0,那么(当且仅当a=b=c时取“=”号)2007年5月黄冈中学网校达州分校定理1的推论:如果a、b＞0,那么(当且仅当a=b时取“=”号)均值定理的几何意义是:“半径不小于半弦”以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合

8、；即a=b时，等号成立2007年5月黄冈中学网校达州分校6.两个概念两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。如果a1、a2、…、an>0，且n>1，那么叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数。2007年5月黄冈中学网校达州分校7.公式的等价变形：2007年5月黄冈中学网校达州分校三、讲解范例：证明：以上三式相加：2007年5月黄冈中学网校达州分校例2.已知a,b,c,d都是正数，求证：证明：∵a,b,c,