复变函数试卷

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1、复变函数复习卷（本科）参考答案一、填空题1、复数的三角表示式=；复指数表示式=。2、复数的=；；；。3、；。4、，求解方程组可得，。5、则；函数的奇点。6、；。7、；8、；。方程的根：；9、；；10、；。11、设，则是（一级极点）；。二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。（1）；解：，一阶偏导连续，因此当时，即时可导，在平面处处不解析。。（2）；解：，于是，当时，即时可导，在平面处处不解析。（3）。解：由解析函数的四则运算法则可知，函数除外处处可导，处处解析。三、求下列积分1、。（被积函数解析，找出原函数）2、。3、解：

2、因为被积函数有奇点，但不在内，在内解析，所以4、其中积分曲线：点点的直线段；解：，其中。5、解：用留数基本定理。1)由于一级极点，于是；2）由于三级极点，于是。所以。另解：用复合闭路定理、柯西积分公式和高阶导数公式。被积函数在内有奇点；于是以为圆心作两个适当大小的圆，所以。6、解：由于是本性奇点，于是，所以；所以。7、1），被积函数在内解析，所以。2），被积函数在内只有一个奇点，于是。3），被积函数在内有二个奇点，于是。8、由于，故奇点：而在内，有奇点，而且是一级极点，于是。因此，。9、。四、级数展开1、将展开成的幂级数；并求收敛域；解：

3、，。2、求在点处的泰勒展开式；并求收敛域；解：，。3、将在（1），（2）（3）邻域内展开为洛朗级数。解：1），有。2），有。3），有五、问是否存在这样的解析函数以为虚部？若有，求满足的解析函数。解：由于，而解析，故C-R条件成立，即，于是，对积分，得。代入初始条件，得，所以。六、求下列函数在孤立奇点处的留数1、；解：是孤立奇点，并且是三级极点。可以把它看成四级极点求留数更为方便些。；或可以将函数在的去心邻域内洛朗展开，，于是。2、；解：由于，所以为可去奇点，故。3、。解：由于不存在，所以为本性奇点，于是，所以。积分变换（本科）复习卷参考答

4、案一、填空题1、；。2、；；3、；；4、；；5、设，则；6、1；；；7、；；8、；；9、；；10、。二、求下列函数的付氏变换1．设，求。解：，于是2．3．。4．。5．6．。7．8．9．。10．。三、计算积分1．。2．。3．4、。四、求卷积1、设，，求：。解：，，2、设，求：。解：；。五、求下列函数的拉氏变换1、2、3、。4、。5、。6、7、。8、。9、。10、11、。12、。13、设试用单位阶跃函数及延迟了的单位阶跃函数表示，并求。解：；。六、求下列函数的拉氏逆变换1、。2、。3、4、5、6、，其中，于是。7、。七、求解微分方程组1、解：

5、设，，于是；所以。2、解：设，；于是，；故，所以。3、解：设于是，，得，。要求背出下列公式：l；；；。l；是自然数；l；ll附：积分变换的主要公式：lllllll（）llll，ll（收敛）ll（,）