高等代数(二)期末

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1、姓名：学号：院系：级班大连理工大学课程名称：高等代数（二）试卷：A考试形式：闭卷授课院(系)：数学系考试日期：2008年7月14日试卷共6页装订线一二三四五六七八九十总分标准分32161210101010///100得分一．填空题（每小题4分，共32分）。1.判断下面所定义的变换,哪些是线性变换,哪些不是线性变换:1)在P[x]中,2)在P[x]中,.1）是线性变换2)不是线性变换2.设的线性变换，其中R是实数域，求在基下的矩阵3．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则相似于对角矩阵-6-4．设四级矩阵的最小多项式为，写出A的所有可能的Jordan标准形5．已知矩阵

2、，则A初等因子组,，不变因子组为，各阶行列式因子组为6.在欧氏空间中（内积按通常定义），向量之间的夹角7．设是三维欧式空间的一组标准正交基，也是一组标准正交基，则k=。8．设是数域P上三维线性空间V上的一个双线性函数，是V的一组基，矩阵是在下的度量矩阵，设，则=-1二．计算-6-1．（6分）已知三级实对称矩阵A的三个特征值为，对应的特征向量分别为，求对应的特征向量.解：设是对应的特征向量，则p与皆正交，即可得于是的所有特征向量为，2．（10分）设V是数域P上的一个线性空间，是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知，求.解：由题意可知所以=三．（12分）在中，微分变换是

3、上的线性变换1.求D的特征多项式；2.证明D在任何一组基下都不可能是对角矩阵;3.求D的核及值域.解：1.取的一组基1，，，，，则有，-6-即D在基下的矩阵为D=，所以D的特征多项式.2．由1知D只有一个特征值（n重），唯一的一个特征子空间是一维的，维数小于，所以D在任何一组基下的矩阵都不是对角矩阵。3．D的核所以，即，D的值域四．（10分）设A是数域P上一个n级矩阵，证明A与A的转置矩阵相似.证明：由于与互为转置矩阵，所以具有相同的各级行列式因子，因此具有相同的不变因子，故A相似于A’五．设1．(8分)用正交线性替换化下列二次型为标准形（要有过程）；2．(2分)在空间

4、直角坐标系中,表示何种曲面.解：由题意可知此二次型对应的矩阵为A=A的特征多项式为，因此A的特征值对应的特征向量为，对应线性无关的特征向量为，，将其正交化-6-、单位化后得正交矩阵即经正交替换X=QY，f化成标准形，当时，其为单叶双曲面。六．（10分）设V是n维欧氏空间，证明对于任意n级正定矩阵A，都存在V的一组基，使得关于这组基的度量矩阵是A.证明：设为的一组标准正交基，关于的度量矩阵为，又由于正定，所以存在可逆矩阵，使得，令，关于基的度量矩阵。七．（10分）设是n维线性空间V上线性变换，且（是V上的恒等变换），且秩n，证明：1．；2．；.证明：1，，则有，为的基，为

5、的基，可由，表出，又，故为一组基，则2．，由于则有，且又有所以有=，从而，且有得，同理，-6--6-