高考专题复习思想方法：数形结合(精华版)

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1、实用文案数形结合思想数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.【以形助数】例1、（集合中的数形结合）已知集合，当，求实数的取值范围.参考解答：画数轴分析可得.例2、（函数中的数形结合）设，当时，恒成立，求的取值范围。参考解答：解法一：由，在上恒成立在上恒成立.考查函数

2、的图像在时位于轴上方，如下图不等式的成立条件是：1）；2）；综上所述解法二：由，令，在同一坐标系中作出两个函数的图像（如右图）满足条件的直线位于之间，而直线对应的的值分别为，故直线对应的.例3、（方程中的数形结合）若方程在内有唯一解，求实数的取值范围.参考解答：原方程变形为，即，作出曲线，和直线的图象，由图可知：①当时，有唯一解；标准文档实用文案②当时，即时，方程有唯一解.综上可知，或时，方程有唯一解.例4、（不等式中数形结合）不等式在时恒成立，求的取值范围.参考解答：例5、（解析几何中的数形结合）已知满足，求的最大值与最小值.参考解答：对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用构

3、造直线截距的方法来求之.令，则，原问题转化为：在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为，且在轴上截距最大或最小，由图可知，当直线与椭圆相切时，有最大截距与最小截距.由可得，得，故的最大值为，最小值为.例6、设，二次函数的图像为下列之一，则的值为（）①②③④例7、线段的两个端点为，直线，已知直线与线段有公共点，求的取值范围.参考解答：不论取何值，直线恒过定点，斜率为，由图与线段有公共点，需要由直线的位置（绕点）逆时针转动到的位置.在这一转动过程中，的倾斜角先逐渐增大到（从而的斜率逐渐增大到），绕过轴后，倾斜角依然逐渐增大，因此其正切值（的斜率）逐渐增大到的斜率，又，故，即.标准文档实用文

4、案例8、已知为椭圆内一点，为椭圆左焦点，为椭圆上一动点，求的最大值和最小值.参考解答：由椭圆的定义知，即，【配套练习】1、方程的解的个数为（）2、如果实数满足，则的最大值为（）参考解答：等式有几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为，半径，如图，表示圆上的点与坐标原点的连线的斜率.如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点在以为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图可见，当在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算得最大值为.3、已知函数，若，则的大小关系为.4、设函数，若，，则关于的方程的解的个数为（）5、函数的最小值为（）6、已知函数在区间内递减，则实数的

5、取值范围为.参考解答：如图所示，可知对称轴7、设、分别是方程的根，则＝.标准文档实用文案8、如果关于的方程有两个实数根，并且，求实数的取值范围.参考解答：令，由题.9、求函数的值域.参考解答：的形式类似于斜率公式，表示过两点，的直线的斜率，由于点在单位圆上，显然，设过的圆的切线方程为，则有，解得，即，，所以，所以函数值域为.10、已知集合，求满足下列条件时实数的取值范围.⑴；⑵Ü；参考解答：画区域分析问题，⑴，⑵【高考真题】1、若集合，集合，且，则实数的取值范围为.参考解答：集合，显然，表示以为圆心，以为半径的圆在轴上方的部分，（如图），而则表示一条直线，其斜率，纵截距为，由图形易

6、知，欲使，即直线与半圆有公共点，显然的最小逼近值为，最大值为即.2、已知（其中），且是方程的两根（），则实数，且.3、点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为的中点，标准文档实用文案表示原点，则（）参考解答：设椭圆另一焦点为，（如下图），则，而，因为，所以，又注意到各为的中点，所以是的中位线，因此.4、关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.参考解答：设，可作图得.（数的问题转换为形的问题有多种途径、多种方法，应选择最简单、最佳方案，这称为最优化原则）5、已知函数，若且，则的取值范围是.6、已知，若中仅含有两个元素时，则实数的取值范围.参考解答：已知当时与在轴左侧

7、必有一个交点，故要在轴右侧有一个交点只需，同理当时与在轴右侧必有一个交点，故要在轴左侧有一个交点只需.7、下图中的函数图像①、②、③、④与函数方程、、、的对应关系中，有可能正确的一组是——————()标准文档实用文案8、已知函数的图像如图所示，则（）0y12x参考解答：本题可将图形转化为具体数值，由图像过个特殊点及与轴的相对位置特征，可得到以下等式：⑴，即；⑵，即；⑶，即；⑷；⑸当时，，由得，⑹当时，，，可推得.巧妙合理地利用以上各式，就可以得到多种简捷的解法：方法一