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1、洛必达法则在复变函数极限中的应用研究1、相关定义1.1、极限的定义及极限思想第四章极限的定义及极限思想第四章极限的定义及极限思想4.1极限定义4.1极限定义(1)数列的极限定义:一般地,如果当n无限增大时,无穷数列{an}的项an也无限地趋近与某个常数a(即ana无限地接近于0),那么就说数列{an}以a为极限,或者说a是数列{an}的极限。记作:lni→m∞an=a(2)函数极限的定义:当x→∞时,函数f(x)的极限:一般地,当自变量x趋向于正无穷大时,函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时
2、,函数f(x)的极限是a,记作:xl→im+∞f(x)=a也可记作:当x→+∞时,f(x)→a.当自变量x取负值并且绝对值无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a。记作:xl→im∞f(x)=a也可记作:当x→∞时,f(x)→a.17海南师范大学硕士学位论文如果xl→im+∞f(x)=a和xl→im∞f(x)=a,那么就说当x趋向于无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作:lxi→m∞f(x)=a也可记作:当x→∞时,f(x)→a(2)当x→x0时,函数f(
3、x)的极限:一般地,当自变量x无限趋近于x0时,函数f(x)的极限是a,记作:xl→imxf(x)=a0xl→im也叫做函数xf(x)f(x)在点x=x0处的极限。0综上我们可以看出,现行高中教材中的极限概念是一种基于直观的描述性定义,超越了形式化的概念,这是考虑到高中生对形式化极限概念存在认知困难的问题。1.2、基本概念收敛基本概念1.1一致收敛基本概念定义1.1.1设(X,d)是一个紧致度量空间,fn:X→X,n=1,2,是一个连续函数列。如果对于任意实数ε>0,对所有的x∈X存在正整数n0,当n≥n0时,d
4、(fn(x),f(x))1.3、极限概念学习困难的原因分析众所周知,极限概念是中学中学习起来最困难的概念之一,从概念学习的有关理论出发,我们认为,极限概念学习困难的原因主要在于:1、极限概念包含两个本质属性—变量和无限,及一些非本质属性,如:“*”、”+oo”、”一ao”、数列{a,}、函数f(x)、Um工呻x.f(x)、悠a,、常数A、la。一川等。非本质属性过多,对本质属性形成干扰,引起认知困难。2、极限概念的定义的文字表示是个蕴涵式,它包含如下渐进的三层意思(以数列极限的非形式化定义为例说明):(1)在一个
5、无穷数列{a,1中,当项数。无限增大时,能判断a。无限地趋近于一个常数;(2)这个常数是什么呢?学生要能得到这个常数。(3)设这个常数为A,则有悠a。=A。概念的蕴涵式是概念学习中最困难的形式,这就加大了学习的障碍。3、纵观中学数学内容,在极限概念学习之前,虽然感性地接触了一些极限的数学思想,如我国魏晋时期刘徽的”割圆术”,以及研究”初等函数图象,’.“双曲线与其渐近线的位置关系”、”圆锥曲线离心率e接近某些值,如0、1时的变化”等等。但是大部分内容都是有限的变量,而甫一接触极限,则涉及无限的变量。有限到无限本身
6、就是辩证的思想,因此极限是一个辩证概念,其特征是发展的、变化的、无限的,处于与其它概念之间的相互联系之中。形成极限概念,必须要冲破形式逻辑思维的局限,进入到辩证思维的领域,这个矛盾构成了极限概念学习中一切认知障碍的根源。由于极限的学习是采用概念的形成方式学习的,这需要较高的逻辑概括能力,其概括过程是一个从个别到一般的过程,必须对一些例子进行分析、比较,才能抽象出新的处于上位的极限概念。而这个过程中,运动和辩证法充满其中,从有限到无限,从近似认识到精确,从量变到质变,这些思维方式的缺乏,使学生原本在上位概念学习过程
7、中的困难进一步加重,会让他们误以为极限是一个能够不断接近,但永远不能达到,因而更不能超过的值,并且对极限是由变量的一串取值,来逼近要求的常量,最终获得要求的常量值这一过程难以理解,甚至对极限产生曲解,认为极限是近似值而不是精确值。4、学生的感性经验中与极限概念相关的概念缺乏可能引起认知的困难。首先,学生的学习经验中,没有极限概念的上位概念。其次,学生在日常生活中虽有极限这个词,但是它只不过局限于体育用语,如:蹦极、攀岩等极限运动,和一些生活用语,如:快乐无极限、挑战极限等。至于其与中学数学中的极限概念是否有联系就
8、不得而知了,更不用说从两者的比较中建立起极限的数学概念了,说不定还会误导学生产生一个先入为主的观念:极限是近似值。5、教科书中有关极限概念形成的感性材料的欠缺也可能引起认知的困难。教科书提供给学生感知的材料较少,学生对极限概念的感知不充分,不能在由具体向抽象过渡的过程中,使与具体对象紧密相连的那些非本质属性消失,而显出极限的本质属性。从英国的s.P试e和加拿大的T.兀er
