关于复变函数中的“洛必达”法则

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1、2014年4月30日作者:[姚艺]学号：[2012011192]指导教师：[王培]专业名称：[勘查12-2班][复变函数中的洛必达法则]关于复变函数中的“洛必达”法则摘要：洛必达法则是计算未定式的一个重要法则，在复变函数中运用泰勒级数以及洛朗级数，从而将实变函数中的洛必达法则，推广到复变函数中。关键词：未定式，洛必达法则，解析，泰勒级数，洛朗级数正文：在实变函数中，洛必达法则是计算未定式与，，极限的有力工具，用它能解决大量未定型极限的计算问题。而在复变函数中，我们可以通过泰勒级数，洛朗级数为工具，来把实变函数洛必达法则引进来。1.未定式的极限定理1：设1）函数，在点a的某

2、去心领域k-{a}内解析；2），，但；可以得到证明：有定理条件可知，点a是，的可去奇点（因为，的极限值均为有限值），于是在k内的，的洛朗展开式（m是自然数），（n也是自然数）而（m是自然数）（n也是自然数）很显然=而对于该极限显然有三种情况：1）若当m=n时，原式=；2）若当m>n时，原式=0；3）若当mn时，原式=0；3）若当m

3、理条件下，都满足定理一的条件，于是有，同理有，一直这样下去，直到所以定理三设1），在无穷远点的某去心领域N-{}内解析；2）但可以得到证明：由定理条件知，无穷远点是f(z),g(z)的可去奇点，因此有以下洛朗展开式（m是自然数）（n也是自然数）而（m是自然数）（n也是自然数）很显然而对于该极限显然有三种情况：1）若当m=n时，原式=；2）若当m>n时，原式=0；3）若当m

4、)的极点。所以通过洛朗展开是：（m是自然数）（n是自然数）而由于而对于该极限显然有三种情况：1）若当m=n时，原式=；2）若当m>n时，原式=0；3）若当m

5、，复变函数中也是存在洛必达法则的。而这个洛必达法则在很多复变函数的计算中都能够得到应用，比如在求孤立奇点的类型，可以通过求函数在奇点的极限值进行判断，但对于0/0型的函数，就可以去使用洛必达法则进行计算。除此之外，我们也会发现这种方法巧妙地避开了中值定理的证明，因为复变函数中的中值定理与实变函数中的中值定理是不一样的，不能够直接使用。同时，对于能够采取级数展开的一个很大的原因，就是解析函数可以任意阶求导，而实变函数中的函数（除了几个初等函数等），很难做到任意阶求导，这也就是为什么在实变函数中，我们采取中值定理进行证明。参考文献：1.华东师范数学系编.数学分析（第三版）[M

6、].北京:高等教育出版社20012.复变函数中的洛必达法则.晋中学院.吴琼.20063.高等数学（上）.同济大学编第六版.2007附：积分中值定理和微分中值定理的证明积分中值定理：设函数是凸区域内的解析函数，，是内的任意两点，则在与的连线段上至少存在两点，使得.证明因为是区域内的解析函数，为凸区域，所以与的连线段，的方程，.由复变函数积分计算法知.因为为解析函数，故必为的连续函数，从而及均为的连续函数，由实函数中的积分中值定理，必存在，使，.令，，则微分中值定理：设是定义在凸开集上的解析函数，，，，则存在，使得证明：容易看到，将积分中值定理用于该式就可以得到也即下面我们再

7、用牛顿-莱布尼茨公式证明洛必达法则函数，在点a的某去心领域k-{a}内解析令2），，但，可以得到证明：由于，在点a的某去心领域k-{a}内解析，而对于a点来说，我们认为其是可去奇点，所以我们定义F(a)=0,G(a)=0。所以===所以在这种情况下得证。