高考专题22 函数与方程思想、数形结合思想（命题猜想）高考数学（理）---精校解析Word版

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1、高考专题数学精练【考点定位】函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.【命题热点突破一】函数与方程思想1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转

2、化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处文数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.方法一　点坐标代入函数(方程)法点坐标代入函数(方程)法是指把点“放到”函数图象中去“入套”，通过构造方程求解

3、参数的方法．此方法适用于已知函数或函数图象，给出满足条件的点坐标，求其中的参数问题．破解此类题的关键点：①点代入函数，把所给点坐标代入已知函数的解析式中，得到关于参数的方程或不等式．②解含参方程，求解关于参数的方程或不等式．③检验得结论，得出参数的值或取值范围，最后代入方程或不等式进行检验．例1、函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(，a)，则a的值为(　　)A．2B．3C．2或D.解析　因为函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数为y＝logax(a>0，且a≠1)，且y＝logax的图象过点(，a)

4、，所以a＝loga，所以aa＝，所以a＝，检验易知当a＝时，函数有意义．故选D.答案　D【特别提醒】应用此方法的易错点是忘记检验，在解出方程后，一定要回头望，把所求的解代入原函数中检验是否有意义．【变式探究】函数y＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(a，)，则a的值为________．答案　解析　因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的反函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(a，)，所以＝aa，即a＝aa，所以a＝.经检验知a＝符合要求．方法二　平面向量问题的函数(方程)法平面向量问题的函数

5、(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题．破解此类题的关键点：①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程)．又0g(x2)，∴，故选C.【变式探究】已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)<0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式>1的解集为________.答案

6、　(－∞，0)解析　∵函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，∴g(0)＝g(4)＝1.设f(x)＝，则f′(x)＝＝.又g′(x)－g(x)<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在R上单调递减.又f(0)＝＝1，∴f(x)>f(0)，∴x<0.【变式探究】已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，则x的取值范围是__________________.【变式探究】若x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是_____

7、_.答案　[－6，－2]解析　当－2≤x<0时，不等式转化为a≤.令f(x)＝(－2≤x<0)，则f′(x)＝＝，故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a≤f(x)min＝f(－1)＝＝－2.当x＝0时，不等式恒成立.当0

8、恰成立⇔函数g(x)＝在上的值域为.因为g′(x)＝，令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，x∈，则φ′(x)＝x(ex－1)．因为x≥，所以φ′(x)>0，故φ(x)在上单调递增，所以φ(x)≥φ＝－>0.因此g′(x)>0，故g(x)在上单调递增，则g(x)≥g＝＝2－，所以a－＝2－，解得a＝2，所以a的取值集合为{2}．答案　{2}【特