《1.3 反证法》同步练习

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1、《1.3反证法》同步练习基础巩固一、选择题1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是(　　)A．无解B．两解C．至少有两解D．无解或至少有两解[答案]　D2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案]　C[解析]　若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时

2、，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b0，Q>0，R>0.3．若x，y>0且x＋y>2，则或的值满足(　　)A.和中至少有一个大于B.和都小于C.和都大于D．不确定[答案]　A[解析]　利用反证法解决．假设≤，≤，x>0，y>0，则1＋y≥2x，1＋x≥2y⇒2＋x＋y≥2x＋2y⇒x＋y≤2，这与x＋y>2矛盾．二、填空题4．用反证法证明命题“若p1p2＝2(q1＋q2

3、)，则关于x的方程x2＋p1x＋q1＝0与x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一个方程有实数根”时，应假设为________．[答案]　两个方程都没有实数根5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个不小于________．[答案]　[解析]　假设a、b、c都小于，则a＋b＋c<1，与已知条件矛盾．a、b、c中至少有一个不小于.三、解答题6．求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°.[解析]　已知∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角．求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个不小于60°.证明

4、：假设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，三式相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立．∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.能力提升一、选择题1．“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定为(　　)A．自然数a、b、c都是奇数B．自然数a、b、c都是偶数C．自然数a、b、c中至少有两个偶数D．自然数a、b、c都是奇数或至少有两个偶数[答案]　D[解析]　恰有一个偶数的否定有两种情况

5、，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．2．若a、b、c不全为零，必须且只需(　　)A．abc≠0B．a、b、c中至少有一个为0C．a、b、c中只有一个是0D．a、b、c中至少有一个不为0[答案]　D[解析]　a、b、c不全为零，即a、b、c中至少有一个不为0.3．(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x

6、3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案]　A[解析]　至少有一个实根的否定为：没有实根．反证法的假设为原命题的否定．4．设a、b、c为一个三角形的三边，S＝(a＋b＋c)，若S2＝2ab，试证S<2a.用反证法证明该题时的假设为(　　)A．S2≠2abB．S>2aC．S≥2aD．S≤2a[答案]　C[解析]　对“<”的否定应为“≥”，故选C.5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(　　)A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B

7、2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形[答案]　D[解析]　由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．由得那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形．二、填空题6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_________________________________

8、_．[答案]　存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．7．某同学准备用反证法证明如下问题：函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0，1]，都有

9、f(x1)－f(x2)

10、<

11、x1－x2

12、，求证

13、f(x1)－f(x2)

14、<.那么其反设应该是__________________．[答案]　如果对于不同的x1，x2∈[0，1]，都有

15、f(x1)－f(x2)

16、<

17、x1－x2

18、，则

19、f(x1)－