《1.3 反证法》同步练习 3

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1、《1.3反证法》同步练习一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是(　　)A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】　“至多一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”，故选B.【答案】　B2．实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，则正确的说法是(　　)A．a，b，c都是0B．a，b，c都不是0C．a，b，c中至少有一个0D．a，b，c不可能均为正数【解析】　若a，b，c均为正数，则a＋b＋c>0与a＋b＋c＝0矛盾

2、，故a，b，c不可能均为正数．【答案】　D3．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数(　　)A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【解析】　假设a、b、c

3、都小于2，则a＋b＋c<6，而事实上：a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，∴a、b、c中至少有一个不小于2.【答案】　C5．已知a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b(　　)A．都能被5整除B．最多有一个能被5整除C．至少有一个能被5整除D．都不能被5整除【解析】　假设都不能被5整除，可设a＝5m＋1，b＝5n＋2(m，n∈N)，则ab＝25mn＋10m＋5n＋2显然不能被5整除，(其它情形同理可证)这与已知矛盾，故假设不成立，故C正确．【答案】　C二、填空题6．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1

4、在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使f(c)>0”反设，所得命题为______________________________________________________________________.【解析】　“至少存在一个”的反面为“不存在”，“不存在c，使f(c)>0”即“f(x)≤0恒成立”．【答案】　函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]上恒有f(x)≤07．和异面直线AB、CD都相交的两条直线的位置关系是________．【解析】　假设这两条直线平行，由空间几何知识可推出AB、CD共面，

5、故假设错误，即这两条直线异面或相交．【答案】　异面或相交8．完成下面的证明过程：设a3＋b3＝2.求证：a＋b≤2.证明：假设a＋b>2，则有a>________，从而a3>________，所以a3＋b3>________＝________≥________.所以a3＋b3>2，这与已知矛盾．所以原不等式成立．【答案】　2－b　8－12b＋6b2－b3　6b2－12b＋8　6(b－1)2＋2　2三、解答题9．已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.【证明】　假设三个式子同时大于，即(1－a)b

6、＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞，三式相乘，得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c＞，①又因为0＜a＜1，所以0＜a(1－a)≤()2＝，同理，0＜b(1－b)≤，0＜c(1－c)≤，所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤，②①与②矛盾，假设不成立，所以原命题成立．10．已知数列{bn}的通项公式为bn＝()n－1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．【解】　假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(r＜s＜t)按某种顺序成等差数列，由于数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，于是有bt

7、＝br＋bt成立．∴2·()s－1＝()r－1＋)t－1.两边同乘3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s，由于r＜s＜t，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．[来源:学科网]故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．11．求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.【证明】　假设bc＝0，下面分情况进行讨论：(1)若b＝0，c＝0，则方程变为x2＝0，此时方程有两个相等的实数根为x1＝x2＝0，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，则方程变

8、为x2＋c2＝0，此时方程无实数根，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(3)若b≠0，c＝0，则方程变为x2＋bx＝0，此时方程的根为x1＝0，x2＝－