《1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案2

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1、《1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案2【课标要求】1．了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题．2．了解二项式系数的性质并能简单应用．3．掌握“赋值法”并会灵活应用．【核心扫描】1．杨辉三角的特点．(难点)2．二项式系数性质的应用．(重点)3．“赋值法”的应用．(易错点)自学导引1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.想一想：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？提示　不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行

2、只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．2．二项式系数的性质对称性在(a＋b)n展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C__增减性与最大值增减性：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的；当k＞时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数Cn最大，当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取得最大值各二项式系数的和①C＋C＋C＋…＋C＝2n，②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1试一试：令f(k)＝C，k∈{0,1,2，…，n}，则直线k＝将函数f(k)的图象分成对称的两部分，

3、即直线k＝是图象的对称轴，由此我们得到结论：当k＝时，C最大，这个结论正确吗？提示　不正确．当n是偶数时，C最大；当n是奇数时，Cn＝Cn最大．名师点睛1．对二项式系数性质的深层理解(1)对称性：源于组合数的性质“C＝C”，基础是C＝C＝1，然后从左右向中间靠拢，便有C＝C，C＝C，…(2)最大值：①当n是偶数时，(a＋b)n的展开式共n＋1项，n＋1是奇数，这时展开式的形式是前项第+1项后项中间一项是第＋1项，它的二项式系数是Cn，它是所有二项式系数中的最大值；②当n是奇数时，(a＋b)n的展开式共有n＋1项，n＋1是偶数，这时展开式的形式是前项第项第项后项中间两项是

4、第，项，它们的二项式系数是Cn、Cn，这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值．(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n源于(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Cbn中令a＝1，b＝1，即得到C＋C＋C＋…＋C＝2n.2．赋值法的应用求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，如：求(a＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn展开式中各项系数和，可令x＝1，即得各项系数和a0＋a1＋a2＋…＋an.若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和，可分别令x＝－1，x＝1，两等式相加减即可求出结果.题型一　与杨辉三角有关的问题【例1】如图在“杨辉三角

5、”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．[思路探索]本题关键是观察数列的特征，数列的每一项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式的二项式系数，再利用组合数求解．解　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)＝＋C＝274.[规律方法]　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互

6、联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．【变式1】如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.第0行1第1行1　1第2行1　2　1第3行1　3　3　1第4行1　4　6　4　1第5行1　5　10　10　5　1　…　　…　　　　　　…解析　设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则C∶C＝2∶3.∴3C＝2C，即＝，得：＝，∴n＝34.答案　34题型二　二项展开式的系数和问题【例2】已知(1－2x)7＝

7、a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值．(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)

8、a0

9、＋

10、a1

11、＋

12、a2

13、＋…＋

14、a7

15、.[思路探索]本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，赋值法在求二项式系数中的应用以及分析问题、解决问题的能力．可用赋值法解决各项系数和或部分项系数和，一般令x＝0或x＝±1解决问题．解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－…－a7＝37.②(1)令x＝0，得a0＝1，代入①中得：a1＋a2＋a3＋…＋