《2.3 向量的基本表示和空间向量的基本定理（1）》同步练习

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1、《2.3向量的基本表示和空间向量的基本定理（1）》同步练习基础达标一、选择题1．长方体ABCD—A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则等于(　　)A．i＋j＋kB．i＋j＋kC．3i＋2j＋5kD．3i＋2j－5k[答案]　C[解析]　令A点为坐标原点，建立如图的空间坐标系．由于＝3i，＝2j，＝5k，则C1点的坐标为(3,2,5)，即＝3i＋2j＋5k，故选C.2．已知线段AB的长度为6，与直线l的夹角为120°，则在l上的投影为(　　)A．3B．－3C．3D．－3[答案]　B[解析]　

2、AB在l上的投影为：

3、

4、·cos120°＝－3.3．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是(　　)A．1　B．2　　　C．3　　　D．4[答案]　B[解析]　根据基底的概念

5、，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由、、共面且过相同点B，故A、B、M、N共面．下面证明①④正确．①假设d与a、b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a、b共面与条件矛盾．∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．二、填空题4.三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{，，}

6、为基底，则的坐标为________．[答案]　(，0，－)[解析]　＝－＝(＋)－(＋)＝－，即＝.5．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PM：MC＝2：1，N为PD中点，则满足＝x＋y＋z的实数x＝________，y＝________，z＝________.[答案]　－　－　[解析]　在PD上取一点F，使PFFD＝21，连结MF，则＝＋，∵＝－＝－＝＝(－)，＝＝＝－，∴＝－－＋，∴x＝－，y＝－，z＝.三、解答题6.如

7、图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B、B1C.(1)求：与的坐标；(2)连接A1C，求在平面ABCD上的投影的长．[解析]　(1)如图，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A1(4,0,3)、B(4,4,0)、B1(4,4,3)、C(0,4,0)．∴＝(0,4，－3)，＝(－4,0，－3)．(2)连结AC，在平面ABCD上的投影长为

8、

9、·cos∠A1CA＝

10、

11、＝4.能力提升一、选择题1．若O，A，B

12、，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则(　　)A．，，共线B．，共线C．，共线D．O，A，B，C四点共面[答案]　D[解析]　∵，，不能构成空间的一个基底，∴，，三个向量共面，∴O，A，B，C四点共面．故选D.2．三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别BB1，AC的中点，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)A．(a＋b＋c)　　　　B．(a＋b－c)C．(a＋c)D．a＋(c－b)[答案]　D[解析]　因为＝＋＋＝－b＋a＋c，所以选D.3．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝

13、a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是(　　)A．aB．bC．cD．无法确定[答案]　C[解析]　∵a＝p＋q，∴a与p、q共面，∵b＝p－q，∴b与p、q共面，∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq，∴c与p、q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.4．已知i，j，k为标准正交基，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向的投影为(　　)A．1B．－1C．D．－[答案]　A[解析]　a·i＝

14、a

15、·

16、i

17、·cos〈a，i〉，则

18、a

19、·cos〈a，i〉＝＝(i＋2j＋3k)

20、·i＝i2＝1，故选A.5．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为(　　)A．，－1，－B．，1，C．－，1，－D．，1，－[答案]　A[解析]　d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又因为d＝e1＋2e2＋3e3，