立体几何中的向量方法1

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1、3.2立体几何中的向量方法第一课时课题引入立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，研究的主要问题有共点，共线，共面，平行，垂直，夹角，距离等，这些问题都与空间向量有着密切的内在联系，从而可以用向量方法解决立体几何问题.上一节，我们把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些立体几何问题.你是否已经体会到空间向量在解决立体几何问题中的作用？这一节我们将进一步学习立体几何中的向量方法.为了用向量方法解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来.探求新知思考1？如何确定一个点在空间的位置？●O●P基点在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间

2、中任意一点P的位置就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.探求新知空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.思考2？过空间一点A可以作无数条直线，其中以某非零向量为方向向量的直线有几条？如何用向量式表示？AP思考3？过空间不同两点A、B的直线如何用向量式表示？ABP点A和不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点P。探求新知思考4？设过点O的两条相交直线确定的平面为α，如何用向量形式表示平面α内的点P的位置？O●P点O和、不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点P。思考5？给这一个定点和一个方向(向量),能确定一个平面在空

3、间的位置吗？探求新知若直线l⊥平面α，为直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量.●A过点A，以为法向量的平面是完全确定的.思考6？如果另有一条直线m⊥，在直线m上任取向量，与有什么关系？探求新知●A1.平面的法向量是非零向量;2.一个平面的法向量不是唯一的，其所有法向量都互相平行;因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.探求新知探究2？你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面

4、角的大小吗？设直线l的方向向量为，平面的法向量为,探究1？若直线l和平面所成的角为θ，你能用,表示θ吗？探求新知设直线l，m的方向向量分别为，,平面，的法向量分别为，探究1：平行关系lm线线平行探究1：平行关系探求新知线面平行l探究1：平行关系探求新知面面平行探究2：垂直关系探求新知设直线l，m的方向向量分别为，,平面，的法向量分别为，m线线垂直l线面垂直探究2：垂直关系探求新知面面垂直探究2：垂直关系探求新知lmlm探究3：夹角探求新知线线夹角ll探究3：夹角探求新知线面夹角〈〉面面夹角探究3：夹角探求新知探究3：夹角探求新知面面夹角线线夹角线面夹角面面夹角合作探究例求证

5、：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.βαabp已知：直线l,m和平面，其中l,m,l与m相交，l∥,m∥求证：∥证：设相交直线l，m的方向向量分别为，平面，的法向量分别为，因为l∥,m∥，所以所以因为l,m,且l与m相交，所以内任一直线的方向向量可以表示为如下形式因为即平面的法线与平面内任一直线垂直.所以平面的法向量也是平面的法向量，即∥因此∥合作探究3.若的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2),且，则m=.2.已知，且的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m=.1.设

6、平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若，则k=；若,则k=。4-5-8深化提高42.直线的方向向量和平面的法向量都不是惟一的，其方向有两种可能，其模可以为任意正数.4.用向量方法研究与平面有关的问题时，一般利用平面的法向量进行运算.课堂小结3.设直线l的方向向量为，对平面α内的任一向量，若，则l⊥α.1.本节课主要是认识了直线的方向向量及平面的法向量的概念,这两个向量是运用向量工具解决平行、垂直、夹角等立体几何问题必要的条件.1.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.当堂检测课本第104页练习第1、2题平行垂直平行2

7、.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.垂直平行相交当堂检测课后作业课本第111页习题3.2A组第1题