立体几何中的向量方法（1）.ppt

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1、3.2立体几何中的向量方法（1）复习回顾向量的定义相等向量、共线向量向量的运算（加减、数乘向量、数量积）向量的坐标运算（模、夹角、数量积）平面向量基本定理空间直角坐标系1)两个向量的夹角的定义:OAB新课引入2）两个向量的数量积注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.A1B1BA数量积的几何意义：等于的长度与在的方向上的投影的乘积。记B1(3)空间两个向量的数量积性质性质②是证明两向量垂直的依据；性质③是求向量的长度（模）的依据；性质④是求向量夹角的依据.④注：(4)空间向量的数量积满足的运算律注意：数量积不满足结合律即(5)空间向量基本

2、定理特别地，若x+y+z=1，则P、A、B、C四点共面.(6)空间直角坐标系⒈单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．单位向量——三个基向量的长度都为1；正交向量——三个基向量互相垂直．ijkO有序实数组叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，简记为a＝．空间中相等的向量其坐标是相同的a＝i＋j＋k．2.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使(7)向量的直角坐标运算⒈向量的直角坐标运算：设a＝，b＝，则⑴a＋b＝；

3、⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷a·b＝.证明方法：与平面向量一样，将a＝i＋j＋k和b＝i＋j＋k代入即可．证明(4):2.类似于平面向量坐标运算可得：设a＝，b=则⑴a//ba＝λb⑵a⊥ba·b=0利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A，B，则即其中表示A与B两点间的距离．这就是空间两点间的距离公式.分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例1.(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.mngmng解:在内

4、作不与m,n重合的任一直线g,在上取非零向量因m与n相交,故向量m,n不平行,由共面向量定理,存在唯一实数,使例1.已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.A平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有l因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平

5、面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？DCBAD1C1B1A1FGHE例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点.求证：平面AEH∥平面BDGFFEXYZ例3RDBCAA1QPNMD1C1B1例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点.求证：MN∥平面AC.A

6、DCB求证：平面MNC⊥平面PBC；6.已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝a，AD＝，M、N分别是AD、PB的中点。PMN例7：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a。求证:面AEF面ACF。AFEC1B1A1CBxzy课后作业1.教材P104练习题1.22.习题3.2A组2、3、4（1）