数列的基本性质和常用结论

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1、数列的基本性质和常用结论一、等差数列1.等差数列的判定方法（1）用定义：对任意的n，都有（d为常数）为等差数列（定义法）（2）（n）为等差数列（等差中项）(3)=pn+q(p，q为常数且p≠0)（即为关于n的一次函数）为等差数列(4)(p，q为常数)（即为关于n的不含常数项的二次函数）为等差数列2.常用性质(1)若数列，为等差数列，则数列，，，(k，b为非零常数)均为等差数列.(2)对任何m，n，在等差数列中，有，特别的，当m=1时，便得到等差数列的通项公式。另外可得公差d=，或d=(3)若m+n=p+q(m，n，p，q)，则

2、=.特别的，当n+m=2k时，得=(4)若数列为等差数列，则记，，，则，，仍成等差数列，且公差为d3.等差数列前n项和公式：4.等差数列前n项和常用的基本性质：（1）(.若等差数列，的前n项和为(n为奇数)，则(2))若为等差数列的前n项和，则数列也为等差数列.(3)记等差数列的前n项和为：①若>0，公差d<0，则当时，则有最大值；②若<0，公差d>0，则当时，则有最小值。求最值的方法也可先求出，再用配方法求解。二、等比数列1.等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n，都有(q0)为等比数列（定义法）-6-（2）（0）为等比

3、数列（等比中项）(3)若数列通项公式为：为等比数列（通项公式法）2.常用性质(1).若数列，为等比数列，则数列，，，，(k为非零常数)均为等比数列.(2)对任何m，n，在等比数列中，有，特别的，当m=1时，便得到等比数列的通项公式.因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性.(3)若m+n=p+q(m，n，p，q)，则=.特别的，当n+m=2k时，得=3.等比数列前n项和公式：４.等比数列前n项和常用的基本性质：若数列为等差数列，则记，，，则，，仍成等比数列，且公差为三、通项公式的求法(1)观察法：各项的规律明显，对分式分别

4、看分子和分母的规律。(2)公式法：①利用等差数列或等比数列的通项公式.②利用与的关系:特别注意：该公式对一切数列都成立。(3)累加法：(4)累乘法：四、数列前n项和的求法(1)公式法：直接利用等差或等比数列求和公式(2)倒序相加法（参照等差数列前n项和公式的推导）(3)错位相减法（参照等比数列前n项和公式的推导）(4)分组求和法(5)裂项相消法数列通项公式的常见求法-6-一、观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…　　　　（2）（3）　　　　　（4）二、公式法⑴利用等差等比数列通

5、项公式例２.等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（）(A)(B)(C)(D)⑵利用公式求数列通项公式例３.已知数列的前n项和sn的公式：求的通项公式。三、累加法：；例４.若在数列中，，，求通项。例５．在数列{}中，，，求通项公式.四、累乘法：例6.　在数列｛｝中，=2，(n+1)·=n·，求数列的通项。-6-五、课后作业１、在数列中，，，求的通项公式。2、已知数列满足，求数列的通项。３、已知数列满足，，求数列的通项。４、已知数列中，，求数列的通项。５、已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式。数列的求和的

6、常用方法一、数列常用基本公式及结论：1、数列的通项与数列的前项和的关系：。2、等差数列通项公式：；.3、等比数列通项公式：；.-6-注意：这是两种求常用的求数列通项公式的方法。4、等差数列的前项和公式：5、等比数列的前n项和公式：6、若数列成等差数列，则成等差数列.若数列成等比数列，则成等比数列.7、常用数列的前n项和：；；；；8、常用裂项形式有：；；；二、分组求和法：例2、求数列的前n项和；例3、数列的前n项和四、裂项相消法：例４、列前n项和例５、求数列的前n项和．例６、求数列：前n项和五、错位相减法：-6-例７、求数列的前

7、n项和。例８、求数列前n项和六、课后作业：1、求和：答案：2、求和：答案：3、求和：答案-6-