不可压流体动力学方程的数学方法

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1、中国工程物理研究院博士学位论文不可压流体动力学方程的数学方法姓名：原保全申请学位级别：博士专业：应用数学指导教师：苗长兴20050601中物院博士学位论文作为Money空问和Lorentz空间的推广，我们提出了弱Morrey空间的概念．它具有许多优点．首先，它包含了Morrey空间M，(黔)，1曼P5g<。c和所有的Lorentz空间工。(aT。j，1

2、弱型Morrey空间蟛^(静)，0兰Al，峨。(黔)=三，。)．讨论了弱Morrey空间的一些基本性质．接着证明了热算子u(t)=e“{诅Calderdn—Zygmund奇异积分算子是弱Morrey空间上的有界线性算子，进而建立了相应于积分方程的非线性项在弱Morrey空间上的双线性估计．最后，我们证明对于适当小的初值，Navier-Stokes方程在弱Morrey空间丽；m-，(鼢)上的Cauchy问题是全局适定的进一步，我们还证明了对于具有自相似结构的初值，自相似解的存在唯一性(

3、Ⅱ)研究不可压磁流体方程组的Cauchy问题u￡一△“+(“·V)Ⅱ～(b-V)6一可p=o6t—Ab-t-(口·v)b一(b‘V)u=0divu=0，divb=0，(0．3)“扫，0)=uo扛)，6@，0)=60扣)，这里z∈畔。，t≥0：n22是空间维数，u=Ⅱ(。，t)=(“l(z，f)，⋯，“。(。，t))，6=b(。，t)=fbj(nfJ，k(z，t))和P=p(z，t)分别是磁流体在(。，t)处的速度场、磁场以及总压力，Ⅶ(：c)和bo(z)是流体速度场和磁场的初值，并且满足自由散度条件divu0=0，di

4、vbo=O利用分数次积分算子和Hardy．Littlewood极大算子的驴有界性以及空间的分解技术，对和积分方程非线性项对应的双线性估计给出了一个简洁滚亮的证明．当初值在BMO—z(黔)空间的模0(啪，％)fibMn一，适当小时，证明了磁流体方程组的温和解是全局存在的，与此同时还证明了Leray—Hopf弱解在空间G([o，oo)；BMO_1(Ⅱ呼))中的唯一陡．特别地，对bmo_1(酽)空间中的小初值，得到了磁流体方程组温和解的局部存在性以及在e(【o，T)；bmo。(黔))空间中的唯一性．这意味在更大的函数空间中建

5、立了磁流体方程组的适定性，改进了以前的适定性结果．而且，在第三章引理33．1中，双线性估计的证明方法与Koch和Tataru在【501中关于Navim'-Stokes方程酌证明方法不同，更加简洁．2中文摘要(III)．研究不可压理想磁流体方程组的Cauchy问题"。+(nV)u—p-v)b—V丌=0bt+沁v)b一(6·V)“=0divu=0，divb=O，(O41“(z，0)=“o沏)，6(z，0)=bo(z)．这里”‰￡)=(ut(x，氓Ⅱ2㈦咄⋯，％。‰t))是流体的速度场，6(z，t)=(bl(z，t)，62(

6、。，t)，，¨z：t))是磁场，口(z，t)=v(x，≠)+{lb(。，t)f2是总压力，z∈胖t≥0U0(z)和bo㈦是流体速度场和磁场的初值，并且满足自由散度条件divuo=o，divbo=0．我们在临界Besov空间B嚣,Vv(孵)、1≤p≤。。中研究了(0．4)的局部适定性．众所周知，对于理想磁流体方程组，由于它不具有耗散项，因此，建立它的适定性更加困难．与此同时，由于流体速度场和磁场之间的耦合作用，与Euler方程相比，有些物理量的性质发生了变化．例如，即使对二维情形，沿流线流体的旋度场也不能保持不变。所以，

7、已有的方法不再有效，利用Littlewood．Paley二进割分解和Bony的二次微局部分解技术，得到了非线性项和压力项在Besov空间或j州9(渺)和丑冀(眇)，l≤p茎。。中的估计．通过构造一个逼近解序列(um(2，t)，6”(z，￡))，m；l，2，⋯，充分利用流体速度场和磁场之间的耦合作用，证明了逼近解(““(z，f)，6⋯(z，t))，m=1，2，．-序列在临界Besov空间或j叫7(靶)，1≤p茎o。中是一致有界的．进一步，证明了逼近解序列(“”(z，线D“(z，t))，m=1，2，⋯在Besov空间B哿(

8、靴)，l≤p≤。。中是一个Cauch序列．利用部分压缩映射原理，证明了如果初值属于I临界Besov空问B赫叫’(形)，1≤p墨。。，则局部解在该空间中存在唯一．该结果改进了理想磁流体方程组适定性的已有结果．(Ⅳ)．研究不可压磁流体方程组光滑解的爆破准则．首先，巧妙利用流体速度场与磁场的耦合作用，我们得到了不可压磁流体方程组的光滑解