二维位势问题快速多极展开式

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1、万方数据第38卷第24期数学的实践与认识V01．38No．242008年12月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYDecem．，2008二维位势问题的快速多极展开式王玮玮，徐永春，秦奋涛，李娇(河北北方学院理学院数学系，河北张家口075028)摘要：快速多极边界元法已经成功地应用于大规模二维三维弹性静力学问题中。有效地减少了计算时问和存储需求．将基于Taylor展式地快速多极边界元法应用到二维位势问题中，提出了二维位势问题地快速多极边界元格式．建立了三维位势问题的快速多极展开

2、式．关键词：边界元法；快速多极算法；Taylor级数l二维位势问题l引言快速多极算法(FMM)由Rokhlin[13在1985年提出，作为一种处理位势问题的算法，然后Greengard[z3其用于多域问题．近年来，将快速多极算法与边界元法结合的快速多极边界元法(FM—BEM)得到了一定的发展，此方法需要的存储量和计算量均降低到0(Ⅳ)．YamadaY与Hayami研究得到二维弹性静力学的边界元法[3]．NaoshiNishimura[43等将FMM与BIEM(BoundaryIntegralEqua

3、tionMethod)相结合．并将其用于三维断裂问题．清华大学姚振汉课题组先后研究了二维多域弹性静力学问题FM—BEM的预处理方法[5]，FM—BEM在包含大量裂纹的二维固体模拟中的应用[6]，薄板结构中三维弹性静力学问题的应用‘71．本文基于复数Taylor展开的快速多极算法应用到二维位势问题中，推导出二维位势问题快速多极展开式，建立了相应的数学基础．2二维位势问题的边界元法格式设有限体域为n，其表面边界为r．已知位势表面为几．已知位势梯度表面为只，P=L+L．二维Laplace方程：V2球=0其

4、边界积分方程为f么‘(z)+Iq‘(z，y)u(y)dl-'一I甜‘(z，y)q(y)dP二维Poisson方程：V2U=b其边界积分方程为c‘“i(z)+lq。(z，y)u(y)dF=I“。(z，y)q(y)dl"一I“。(z，y)b(x)dOJrJrJn收稿日期：2008—01—30万方数据226数学的实践与认识38卷其中，z为源点，Y为边界r上的任意一点，一为边界形状系数，基本核函数：“’(z·y)=1n171(1)g沁，y)=掣(2)其中，q。(z，y)是“。(z，y)在y点处的外法线方向的

5、导数，r为观测点和源点间的距离，咒为边界r的外法矢．3二维位势问题快速多极展开公式推导3．1核函数的多极展开正方形区域A包含Y所在的一不段边界r，，区域A的中点是夕。，其中满足条件：Iy—y。I≤旦掣，vY∈I'f．用缈(z。y)代表核函数。把核函数中的y作为自变量，在Yo展开成Taylor级数引“y)_荟者掣¨。，y0)(j，一y∥核函数的积分可以改成为。Jr妖而y)dY2荟八“k)g(y囊)f(x囊卜责掣”o—Y)g(Y，志)=I(y—yo)‘dy可以看出，积分分成了独立的两组函数，前一组f(x

6、，五)只与z有关，后一组g(y。屉)只与Y有关。称作多极展开系数或多极矩(multipolemoment)．这样g(y．志)只需要计算一次，就可以用于计算不同源点z的核函数的积分．根据上述方法，将核函数多极展开‘a3“’(z，y)=∑Re[f(x—Y0k)g(y—YO足)]+∑Re[f(，’(z—YOk)g‘，，(y—YOt五)]+∑Re[-f‘订(z—YOk)g‘‘’(y—y。，是)]其中，fIn(z)，五=0八五”。协五_1'2，．．．，∽(z，愚)一R丁e(x)，尸7’(z，五)一丁Ira(x

7、)，愚=1，2，⋯由(1)我们得到I，“。(z，y)q(y)dI"=∑Re[-f(x—YO9量)f(Yo．志)]+∑Re[f'一(z—YO屉)G(j，。。点)]o‘t=0●·1+∑Re[-f∽(z—YOk)c。(y。，志)]万方数据24期王玮玮．等：二维位势问题的快速多极展开式227其中c(yo，屉)=Ig(Y—Yo，k)q(y)dFf，(蛳，愚)=Ig“’(y—Yo．k)q(y)dPfj(yo，志)一Ig“’(j，一Yo，k)q(y)dI"c(y。，忌)称作多极系数，并且只需计算一次，就可以用于另

8、一个积分I。(z，有与rqy)u(y)dl-'(2)式一样的展开形式．3．2多极展开系数的转移(M2M)在图1中，6表示a的父盒，Y，是b的中心．其中满足条件lYl一Y。I≤告IYl—zf．Vy∈b利用U’(z，y)中的自变量y换成Y，的Taylor展式，我们得到与式(6)相似的表达式，如下：I。“‘(z，y)q(y)dF=∑Rel-f(x—Yl。k)c(y。，屉)]+∑Re[f'n(z—y1，志)G(yt，志)]，‘l暑Ot=L+∑ReEf∽(篁一y。，k)cj(y