初中数学“两点之间线段最短”公理的应用教学新探

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1、回归数学的本质----《“两点之间线段最短”公理的应用》教学新探　一、问题的提出3月12日，植树节，一个播种希望的季节。我校“新课程下有效课堂教学策略的研究”课题也播下了希望的种子。作为其中的一名“植树人”，经历着课程改革的点滴风雨，感受着一线教师在课堂教学中不同教学方式的尝试与变化，从对传统教学的批判到合作学习、探究学习形式的流行，倘若把握不住学习的本质便会使我们的教学从一个极端走向另一个极端：在热闹的课堂表象下是对数学本质的流失。中国古人对学习有着深刻的认识：在象形文字中，学上半部分是两个手把着的算筹，下半部分

2、为一个专门的场所，引申为从书本上、教师里获取间接知识；习的上半部分是“羽”，代表雏鹰，雏鹰离开巢臼试着飞行称之为习，引申为从经验中、个体实践中获取知识。可见学生的学习是教师与学生两者之间的有机结合，任何一方的忽视都是不可行的。二、理论依据数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，它具有很强的概括性、抽象性和逻辑性。数学教学是数学思维过程的教学，学生学习数学的过程是在头脑中建构认知结构的过程，是主体的一种自主行为。它遵循着人类认识的一般规律，也有其特殊规律。2007年4月教育部数学教育高级研修班在宁波举行会议。华

3、师大数学系汪晓勤副教授在这次会议中作了《历史的相似性及其教学启示》报告，报告中提到要像数学家发现问题、思考问题那样进行教学，而这一重要思想就如伟大科学家爱因斯坦给M.索洛文的信中所提及的那样，爱因斯坦把经验、直觉与理论描述为如右图的图景：从直接经验到建立公理（ε→A），这是一种直觉联系，从公理到导出命题（A→ε），那是一种逻辑必然联系，从导出命题到实际（S→ε）则是一种实践、-7-实验验证，从中得到的经验还可修正已有的公理，如此循环往复。三、实践研究下面从“两点之间线段最短”这一公理出发，对教学过程中的若干问题、环

4、节进行如下的实践与探究：（一）从直接经验中得到公理浙教版《数学》（七上）的教材中是通过生活常识引入这一公理：（1）小狗看到远处的骨头，总是径直奔向食物；AB（2）从A地到B地有3条路可走（如图1），为了尽快到达，人们通常选择其中的直路。从上面的两个事例中，你能发现什么共同之处吗？而在对应的作业题中，有这样一题：（图1）如图2，A、B、C、D表示4个村庄，村民们准备合打一口水井，（图2）（1）水井的位置现有P、Q两种选择方案，哪一种方案中，水井到各村庄的距离总和较小？（2）你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方

5、案吗？若能，请标出水井的位置，并说明理由。这个公理的正确性无庸质疑，学生都有这样的生活经验，但这个对应的课后练习对一部分学生产生了难度，他们可能会有个大概的感觉是在中间，却还无法与“两点之间线段最短”这一知识产生联系。教师通过讲解先让学生对这一公理的应用有一初步的感知，不急于揭示本质，但也不停留于此，而是通过下面几个问题的设计，进行类比，引发学生积极思考。（图3）（二）从公理导出的问题问题1：如图3，A、B两地位于河的两岸，现要求架设一座桥，使从A到对岸B的路程最短，并使桥与和河两岸垂直，怎样选择桥址呢？请画出架设

6、桥的地方。步骤①：桥架设的位置与河岸垂直，因此河的宽度这一条件不起作用，通过多媒体演示将河两岸靠拢（图3.2）；步骤②：在图3.2中，学生很容易找到A、B之间的-7-最短距离（图3.3）；①②③图3.1图3.2图3.3图3.4步骤③：再用多媒体演示将河两岸分开（见图3.4），此时桥的位置P1P2就确定下来了。最后指导学生画图，理解“两点之间线段最短”在此题中的应用。通过多媒体的演示体现知识之间的结构与关系，挖掘“知识附着点”，即对学习新知、解决新问题起支撑作用的原有知识，或者说将其固定于原有认知结构之中的那些知识，

7、引导学生通过类比，进行思考，抓住知识的内涵本质。问题2：如图4，某人想从A地到河边去取水，然后倒入设在B地的水桶内，怎样才能使行走路线最短，试画出行走路线。(图4)图4.1类比：图4.1与图4.2中点A、B的不同位置图4.2思考：如何将本题（图4.1）转化到学生的知识附着点（图4.2）问题3：为了丰富学生的课余生活，某校决定举办一次机器人投篮大赛。规则是：如图5，操纵者站在距线段AB为2米的C处，使机器人从A处出发，到C处取到篮球，然后行使到B处，将篮球投入设在B处的篮筐内，用时少的即为胜利者。为了获得胜利，请你设

8、计出C的最佳位置（保留画图痕迹），若AB=3米，求出机器人行使的最短路程。联系上题的知识附着点（图5.1）-7-（图5）图5.1关键：画出到AB距利用对称找离为2的直线（图5.2）到C点位置图5.2图5.3教师抓住这几个数学问题之间的结构、关系及顺序，并恰当的改变它们，从而创造出一系列的问题，引导学生以不同的角度和不同的情形去看待它们，让学生感受到“万变不离