立体几何基础题题库二

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1、立体几何基础题题库二（有详细答案）361.有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面?解析：有5个暴露面.如图所示，过V作VS′∥AB，则四边形S′ABV为平行四边形，有∠S′VA=∠VAB=60°，从而ΔS′VA为等边三角形，同理ΔS′VD也是等边三角形，从而ΔS′AD也是等边三角形，得到以ΔVAD为底，以S′与S重合.这表明ΔVAB与ΔVSA共面，ΔVCD与ΔVSD共面，故共有5个暴露面.362.若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是.(只须写出一个可能的值)解析：该题的显著

2、特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BC

3、M，所以VABCD=SΔBCM·AD.CM===.设N是BC的中点，则MN⊥BC，MN===，从而SΔBCM=×2×=，故VABCD=××1=.对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=·，不妨令a=b=2，c=1，则V=·=·=.363.湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.解析：设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r＝12,球心与截面的距离为d＝R-8，由截面性质得：r

4、2+d2＝R2,即122+(R-8)2＝R2.得R＝13∴该球半径为13cm.364.在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S′，则Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6π(米2)365.设棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解析：∵AB⊥AD，

5、AB⊥MA，∴AB⊥平面MAD，由此，面MAD⊥面AC.记E是AD的中点，从而ME⊥AD.∴ME⊥平面AC，ME⊥EF设球O是与平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.设球O的半径为r，则r＝设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.∴ME＝.MF＝,r＝≤＝-1当且仅当a＝，即a＝时，等号成立.∴当AD＝ME＝时，满足条件的球最大半径为-1.366.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，期棱长为a.(1)求证BD⊥截面AB1C；(2)求点B到截面AB1C的距离；(3)求BB1与截面AB1C所成

6、的角的余弦值。同理BD1⊥AB1.∴BD1⊥面ACB1.(2)AB=BC=BB1G为△AB1C的中心.AC=aAG=a∴BG==a(3)∠BB1G为所求cos∠BB1G=367.已知Ｐ为ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．解析：　因M为PB的中点，连BD∩AC于O后，可将PD缩小平移到MO，可见MO为所求作的平行线．证明连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．368.如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M，N，Ｅ，Ｆ分别

7、是棱Ｂ1Ｃ1，A1D1，Ｄ1Ｄ，ＡＢ的中点．（１）求证：Ａ1Ｅ⊥平面ＡＢＭＮ．（２）平面直线A1E与MF所成的角．解析：（１）要证A1E⊥平面ABMN，只要在平面中找到两条相交直线与A1E都垂直，显然MN与它垂直，这是因为MN⊥平面A1ADD1，另一方面，AN与A1E是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决．（２）为（１）的应用．证明　（１）∵AB⊥平面A1ADD1，而Ａ1Ｅ平面A1ADD1，∴AB⊥Ａ1Ｅ．在平面A1ADD1中，A1E⊥AN，　　∵AN∩AB＝A，∴A1E⊥平面ABMN．解　（２）由（１

8、）知A1E⊥平面ABMN，而MF平面ABMN，∴A1E⊥MF，则A1E与MF所成的角为９０°369.如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M为棱CＣ1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD．解析：要证A