实验四傅立叶变换和LTI系统的频域分析

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1、实验四傅立叶变换和LTI系统的频域分析4.1实验目的1.熟悉信号的傅里叶变换及其逆变换；2.掌握信号和系统频域分析方法；3.了解快速傅里叶变换方法及其应用；4.学会使用MATLAB分析信号和系统的频域特性，绘制信号的频谱图以及滤波器的幅频、相频特性图。4.2实验原理傅里叶变换在众多领域都有着广泛的应用。在信号和系统中，通过傅里叶变换可将时域上的信号转换为频域上的频谱密度函数，通过卷积定理还可将时域上复杂的卷积运算转化为频域上简单的乘积运算，从而为信号和系统的分析、设计提供了一种简单而重要的工具。另外值得

2、一提的是，离散形式的傅里叶变换（DiscreteFourierTransfer，简称DFT）可通过快速傅里叶变换算法（简称FFT）用计算机快速地实现。以FFT为基础的频域方法已成为现代数字信号和图像处理、通信、控制等众多领域的最基本的技术手段之一。连续时间信号的傅里叶变换连续时间信号的傅里叶变换（CFT）为∫1j!tX(j!)=x(t)edt;1414.2实验原理实验四傅立叶变换和LTI系统的频域分析其逆变换为∫11j!tx(t)=X(j!)ed!:21x(t)和X(j!)都是连续函数。离散时间

3、信号的傅里叶变换离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）为()∑1j!j!nXe=x[n]e;n=1其逆变换为∫1()j!j!nx[n]=Xeed!:22X(ej!)是周期为2的连续函数，也就是说，离散时间信号在频域上依然是连续的。离散傅里叶变换由于数字系统只能处理有限长的离散信号，所以必须将连续信号和它的频域变换函数都离散化，并且建立有限长序列间相应的傅里叶变换关系，才能应用数字系统（如用计算机）对信号进行处理。这一目标可通过离散傅里叶变换实现，并且在实际应用中可采用快速傅里叶变换来计算。对于一

4、长度为N的有限长离散时间序列，其离散傅里叶变换（DFT）定义为∑N(n1)(k1)X[k]=x[n]W;Nn=1逆变换为1∑N(n1)(k1)x[n]=X(k)W;NNk=1j2其中常数WN=eN。从形式上来看，DFT处理的信号在时域和频域上都是有限长的离散序列，且长度相等。如果将其与DTFT做比较，可发现DFT实际上就是周期延拓的有限长离散时间序列的傅里叶级数，因此DFT变换前后的两组离散序列都应看作是离散周期信42实验四傅立叶变换和LTI系统的频域分析4.2实验原理号的主值序列。DFT

5、变换序列x[k]的值可以理解为有限长离散序列的傅里叶变换()∑Nj!j!(n1)Xe=x[n]en=1的频域采样，()X[k]=Xej!:!=2(k1)N而对于一连续时间信号x(t)，DFT可以理解为先将信号在时域离散化得到x[n]，求得其傅里叶变换X(ej!)后，再在频域离散化的结果。总之DFT可以看成是连续时间傅里叶变换的一种近似，但是要注意以下的问题：1.连续信号必须是时限的；2.连续信号的时域采样须满足采样定理；3.DFT得到的频谱是N个频点上的离散频谱值，存在栅栏效应，即N个频点之外频

6、谱值是未知的。如需得到更多频点的信息，可对x[n]进行补零扩展，增大N的数量。DFT在众多领域都有重要应用，而在实际应用中DFT及其逆变换都依赖于快速算法，即快速傅里叶变换FFT。按照DFT的定义计算一个长为n的序列的DFT的计算复杂度为O(n2)，而同样长度FFT的计算复杂度仅为O(nlogn)。正是FFT算法的提出，使DFT在数字信号处理中得到了广泛的应用。MATLAB提供了fft和ifft函数，可分别实现DFT及其逆变换的快速算法。连续时间信号的频谱分析前面我们已经知道，DFT是连续傅里叶变换的近

7、似。因此我们可以通过连续时间信号x(t)进行均匀采样并截断得到有限长离散序列x[n]，对序列作FFT，就可以得到x(t)频谱的采样值，分析其频谱的的性质。X(j!)一般为复函数，其模和相位可表示为X(j!)=X(j!)ejϕ(!);其中X(j!)反映信号各频率分量的幅度随频率!的变化情况，称为信号的幅度频谱；phi(!)反映信号各频率分量的相位随频率!的变化情况，称为信号的相位频谱。434.2实验原理实验四傅立叶变换和LTI系统的频域分析连续时间系统的频域分析根据傅里叶变换的卷积性质，某一LTI系统输出

8、信号的频谱满足Y(j!)=X(j!)H(j!);式中X(j!)是输入信号x(t)的傅里叶变换，H(j!)是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。H(j!)称为系统的频率响应（也称为系统系统传递函数、系统函数等），反映了系统内在的固有的特性，是描述稳定LTI系统特性的一个重要参数，其模和相位表示为H(j!)=H(j!)ejϕ(!);其中H(j!)称为系统的幅频特性，ϕ(!)称为系统的相频特性。MATLAB应用示例对于连续时间信号，在MATLA