论三角函数与双曲函数

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1、论三角函数与双曲函数信院23系解鑫PB11203155摘要：三角函数与双曲函数无论从形式上，还是各种公式上都有极大的相似性。应用时也都相伴出现。细细对比会发现，由欧拉公式必然会得出三角函数与双曲函数的诸多对应关系。关键字：三角函数、双曲函数、相似性、欧拉公式正文：§1三角函数、双曲函数的对比§1.1定义：1、几何定义：1）、三角函数的定义：三角函数可以依据直角坐标单位圆来定义，给定一个角度θ，与单位圆交于（x,y）点，如右图所示。则有：正弦：sinθ=y余弦：cosθ=x正切：tanθ=sinθ/cosθ余切：cot

2、θ=cosθ/sinθ2）、双曲函数的定义：双曲函数可以依据直角坐标单位双曲线定义，给定一条从原点发出的射线p，与p关于x轴的镜像和双曲线之间的面积a，射线p与双曲线交于（x,y）点，如右图所示。则有：双曲正弦：sinha=y双曲余弦：cosha=x双曲正切：tanha=sinha/cosha双曲余切：cotha=cosha/sinha3）、总结1从定义可以看出它们具有很好的相似性，就像两个双胞胎来自同一个地方。区别仅在于：三角函数是用单位圆定义的，自变量是角度θ；双曲函数是用单位双曲线定义的，自变量是面积a。2、公

3、式定义：1）、三角函数定义：?i?−?−i?正弦：sinθ=???i?+?−i?余弦：cosθ=?正切：tanθ=sinθ/cosθ余切：cotθ=cosθ/sinθ2）、双曲函数定义：?a−?−a双曲正弦：sinha=??a+?−a双曲余弦：cosha=?双曲正切：tanha=sinha/cosha双曲余切：cotha=cosha/sinha3)、总结：从公式定义也可以看出，三角函数与双曲函数具有很好的相似性，只是一些小细节稍微不同，大体上是相同的§1.2：反函数：1、反三角函数：反三角函数定义定义域arcsinx

4、=ysiny=x[-1,1]arccosx=ycosy=x[-1,1]arctanx=ytany=xRarccotx=ycoty=xR2、反双曲函数：反双曲函数定义定义域arcsinhx=ln(x+??+?)sinhy=xR2arccoshx=ln(x+??−?)coshy=x[1,+∞]??+?arctanhx=ln()tanhy=x[-1,1]??−???+?arccothx=ln()cothy=x[-∞,-1]∪[1,+∞]??−?3、总结：反三角函数与反双曲函数的定义都来自反函数的定义，因而这是共性。§1.3

5、：图像三角函数双曲函数sinxsinhxcosxcoshxtanxtanhx3cotxcothxarcsinarcsinhxxarccosarccoshxxarctanarctanhxxarccoatccottxhx总结:4可以看出：一般三角函数是周期的，而双曲函数没有周期性。三角函数与双曲函数的奇偶性大体相同，如正弦、余弦、正切、余切与双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切的奇偶性是一样的。§1.4：恒等式三角函数双曲函数?????+?????=???????−??????=?总结:可以看出：只是一个正负号的区别。

6、§1.5：加法公式三角函数双曲函数sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)????+???(?)?????+????(?)tan(x+y)=tanh(x+y)=?−???????(?)?+?????????(?)总结：可以看出：加法公式具有很好的相似性，仅个别正负号不同

7、。§1.6：减法公式三角函数双曲函数sin(x-y)=sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)sinh(x-y)=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y)cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)cosh(x-y)=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)????−???(?)?????−????(?)tan(x-y)=tanh(x-y)=?+???????(?)?−?????????(?)总结：可以看出：减法公式具有很好的相似性，仅个别正负号不

8、同。§1.7：二倍角公式三角函数双曲函数sin(2x)=2sin(x)cos(x)sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)cos(2x)=?????−?????cosh(2x)=??????+?????????????????tan(2x)=tanh(2x)=?−??????+??????总结：可以看出：二倍角公式具有很好的相似性，仅个