《基本不等式：√ab≤a+b2》课件2

《《基本不等式：√ab≤a+b2》课件2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一课时3.4基本不等式问题提出1.不等式有许多基本性质，同时还有一些显而易见的结论，如a2≥0，

2、a

3、≥0，

4、a

5、≥a等，这些性质都是研究不等式问题的理论依据.在实际应用中，我们还需要有相应的不等式原理.2.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.在这个图案中既有一些相等关系，也有一些不等关系，对这些等与不等的关系，我们作些相应研究.基本不等式原理及其变通探究（一）:基本不等式的原理

6、a－b

7、

8、思考1：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形ABCD和EFGH的边长分别为多少？ABCDEFGH思考2：图中正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和有什么不等关系？由此可得到一个什么不等式？a2＋b2≥2ab思考3：从图形分析,上述不等式在什么情况下取等号？当直角三角形为等腰直角三角形，即a＝b时，a2＋b2＝2ab.ABCDEFGH思考4：在上面的图形背景中，a,b都是正数，那么当a，b∈R时，不等式a2＋b2

9、≥2ab成立吗？为什么？一般地，对于任意实数a，b，有:a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.ABCDEFGH思考5：特别地，如果a＞0，b＞0，我们用、分别代替a、b，可得什么不等式?当且仅当a＝b时等号成立.思考6：不等式称为基本不等式，它沟通了两个正数的和与积的不等关系，在实际问题中有广泛的应用，你能用分析法证明吗？思考7：我们称和分别为a，b的算术平均数和几何平均数，如何用文字语言表述基本不等式？两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考8：如图，在直角三角形ABC中，CD

10、为斜边上的高，CO为斜边上中线，你能利用这个图形对基本不等式作出几何解释吗？ABCDO探究（二）：基本不等式的变通思考1：将基本不等式两边平方可得什么结论？它与不等式a2＋b2≥2ab有什么内在联系？思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有什么特色？它反映了两个实数的平方和与它们的和的平方的不等关系，称为平方平均不等式，其数学意义是：两个实数的平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方.思考3:将不等式两边同乘以，可变通出一些什么结论？理论迁移例1已知x

11、、y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3例2已知a2＋b2＋c2＝1，求证：(a＋b＋c)3≤3.小结作业2.基本不等式有多种形式，应用时具有很大的灵活性，既可直接应用也可变式应用.一般地，遇到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不等式问题时，常利用基本不等式处理.1.不等式a2＋b2≥2ab与都是基本不等式，它们成立的条件不同，前者a、b可为任意实数，后者要求a、b都是正数，但二者等号成立的条件相同.3.当a、b都是正数时，有不等式链作业：P100习题3.4A组

12、12第二课时3.4基本不等式问题提出1.基本不等式有哪几种基本形式？（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时等号成立；（2）(a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立；（3）(a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立；2.函数的最大值和最小值的含义分别是什么？3.在一定条件下，利用基本不等式可以求出变量的极端值，因此，利用基本不等式求最值就成为一种重要的数学方法.最大值:f(x)≤M，且等号成立;最小值:f(x)≥m，且等号成立.基本不等式与最值探究（一）：基本不等式与最值原

13、理思考1：在基本不等式(a＞0，b＞0)中，如果a·b＝P为定值，能得到什么原理？原理一：若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值.思考2：在基本不等式(a＞0，b＞0)中，如果a＋b＝S为定值，又能得到什么原理？原理二：若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大值.思考3：能否由得函数的最小值是2吗？思考4：当x≥4时,能否由得函数的最小值是4吗？思考6：利用基本不等式求两个变量的和的最小值(或积的最大值)，应具备哪些基本条件？一正二定三相等思考5：当x∈(0，

14、π)时，能否由，得函数的最小值是吗？探究（二）基本不等式求最值的实际应用【背景材料】在农村，为防止家畜家禽对菜地的破坏，常用篱笆围成一个菜园.如果菜园的面积一定，为节省材料，就应考虑所用篱笆最短的问题；如果所用篱笆的长度一定，为了充分利用材料，就用考虑所围菜园面积最大的问题.思考1：如果用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，所用篱笆的总长度是定值？还是变量？思考2：如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短的篱笆是40m.