基本不等式：ab≤ab

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1、1．探索并了解基本不等式的证明过程．2．能利用基本不等式证明简单不等式．3．熟练掌握基本不等式及变形应用．4．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．本课难点是利用基本不等式证明不等式．2．利用基本不等式求最值是本课热点．3．多以选择题、填空题形式考查，偶以解答题形式考查．1．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－b)20，因此a2＋b22ab.什么时候等号能成立呢？当且仅当时，取等号．2．把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么

2、a并非物体的实际质量．不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的质量呢？≥≥a＝b1．基本不等式(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b22ab，当且仅当时，等号成立．(2)基本不等式①形式：②成立的前提条件：；③等号成立的条件：当且仅当时取等号．≥a＝ba>0，b>0a＝b2．应用基本不等式求最值如果x，y都是正数，那么(1)若积xy是定值P，那么当时，和x＋y有(2)若和x＋y是定值S，那么当时，积xy有算术平均数几何平均数．x＝y最小值．x＝y最大值．1．不等式m2＋1

3、≥2m中等号成立的条件是()A．m＝1B．m＝±1C．m＝－1D．m＝0解析：m2＋1＝2m时，m＝1.故选A.答案：A答案：B3．设a，b∈R，a＝3－b，则2a＋2b的最小值是________．(2)∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等”的原则创造条件，检查条件是否具备，再利用

4、基本不等式解之．[题后感悟](1)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判别式法等．当且仅当x－8＝2(y－1)时，即x＝12，y＝3时上式取等号，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.[题后感悟]在利用基本不等式求最值时，除注意“一正、二定、三相等”的条件外，最重要的是构建“定值”，恰当变形、合理拆分项或配凑项是常用的解题技巧．3．设x＞0，y＞0，且2

5、x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销售完．(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．(2)

6、该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)[题后感悟]不等式应用的特点是：(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收”等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：①先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；②建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④正确写出答案．4．某

7、食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解析：设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．由题意可知，面粉的保管费及其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)．设平均每天所支付的总费用为y1元，1．利用基本不等式求最值时，应注意的问题(1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断．(2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值

8、需和为定值．(3)确保等号成立．以上三个条件缺一不可．可概括为“一正、二定、三相等”．[特别提醒]连续应用基本不等式时，要注意各不等式取