复平面及单位圆内齐次线性微分方程解的增长性和值分布

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1、独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：签字日期：汐肜年Z月／日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西

2、师范大学研究生院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。(保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：调祀签字日期：伽13年l'月／日导师签名：撇签字日期：2Df弓年6月4日2江西师范大学2013届硕士研究生学位论文对于方程(1．1．5)大量存在的无穷级解，如何更精确地估计他们的增长性?为解决这一问题，仪洪勋一杨重骏在文[651中给出了超级的定义．之后，陈宗煊在文[24]中首次用超级的定义研究了方程(1．1．5)，其中A1Z)=hiz)ez,Ao(z)

3、=h2(z)e娩，得NT方程(1．1．5)的解的超级的精确估计．陈宗煊对其它系数情形下的二阶齐次方程(1．1．5)和非齐次方程‘厂Ⅳ+A，(Z)厂，+AoZ)厂：F(z)的解的超级和超零点收敛指数也进行了研究．此外，陈宗煊还在文[261中首次研究了方程(1．1．5)的解和小函数的关系，相关结果还可见文[21—23，48，49]等．对高阶方程(1．1．3)和(1．1．4)的解的级，超级以及超零点收敛指数等的研究亦可见文[18—20，28，30，31，33，34，54]等．众所周知，方程(1．1．3)存在大量无穷级解．为了更好地研究

4、这些增长性较快的解，L．G．Bernal在1987年首先给出了迭代级的概念(见文f111)，并且L．Kinnunen$口I．Laine也对迭代级的相关概念给出了定义(见文[50，53】)．其中，L．Kinnunen在文[50]中得到的结论为之后进一步研究迭代级奠定了重要的基础．近几年，B．Bela'idi，王瑁，曹廷彬，徐俊峰，涂金等在迭代级方面作了进一步的研究(见文[16，45，59—61，63]等)．由于具有相同的级或者迭代级的函数大量存在，为了更细致地比较这些函数的增长性快慢，Juneja-Kappor—Bajpai在文[

5、46，47100提出了∞，g]级和防，g]型的定义．为了使得当q=1时，h口]级的定义与常用的迭代级定义相符，刘一涂一时在文[55]中对原始定义进行了修改．而后，曹廷彬，B．Bela'idi等根据这种新定义得到了复平面和单位圆内系数为bq1级亚纯函数的高阶线性微分方程解的一些性质(见文[9，10，55，56]等)．Poincare-Klein-Koebe单值化定理确立了单位圆，复平面以及扩充复平面在复分析中的重要地位．由于亚纯函数在单位圆内的性质与在复平面上的性质有一定区别，所以研究单位圆内微分方程的复振荡问题也是非常有意义的．

6、J．Heittokangas在文[39]中研究了单位圆内微分方程解析解的增长性．之后，陈宗煊一K．H．Shon在文[25]中研究了单位圆内具小函数系数的微分方程解的增长性．进一步地，R．Korhonen，J．R矶ty戋，B．Bela'idi，曹廷彬等也讨论了在单位圆内系数为有限级，有限迭代级，囟，口]级等情形时的高阶线性微分方程的解的复振荡情况(见文[9，10，14，15，40-43，51，52]等)．在本文中，我们分别在复平面和单位圆内研究方程(1．1．3)，当起支配作用的系数具有限迭代下级或有限b91下级时，得到方程解的增长

7、性和值分布的一些结果．特别地，得到了方程的解的迭代下级或hq1下级的估计，以及解的各阶导数取小函数值点的收敛指数的估计．§1．2基本定义和记号在本文中，我们使用Nevanlinna理论的标准记号(见文[36，53，62，64，65])．我们还需要测度和密度的定义．集合Ec[1，∞)的线测度和对数测度分别定义为mE=尼dt矛[1mtE=屈巩／￡(见文[37])．集合Fc[0，1)的上密度和下密度分别定义为复平面及单位圆内齐次线性微分方程解的增长性和值分布3其中m(G)=尼盖，Gc[0，1)(见文[58])．我们用C来表示复平面，用

8、△=Z∈CllzI<1)来表示单位圆．并且规定，对于足够大的rE[0，+∞)，有explr=e’，expp+1r=exp(exppr)，PEN；以及对于足够大的r∈(0，+∞)，有l091r=logr，logv+1r=log(109pr)，PEN；特别地，有ex