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1、第11章多項式內插牛頓內插多項式拉格朗日內插多項式多項式內插你常常會需要根據兩個精確的資料點做中間值的估計。為了達成此目的，最普遍的方法就是使用多項式內插。a)一階（線性）連接兩個點b)二階（二次或拋物線）連接三個點c)三階（三次）連接四個點11-2決定多項式係數對於一個(n－1)階的多項式，其一般形式的公式如下：2n-1f(x)=a+ax+ax+⋯+ax123nn-1n-2f(x)=px+px+⋯+px+p12n-1n一個計算多項式的直接方法，就是根據決定n個係數需要n個資料點而來
2、。我們產生了n個線性代數方程式並且可以聯立求解出這些係數。11-3多項式內插問題雖然產生了n個線性代數方程式並且可以聯立求解出這些係數，提供了我們一個簡單的方式進行內插，但卻非常沒有效率。此形式的係數矩陣稱為凡德芒矩陣(Vandermondematrix)。這樣的矩陣是病態條件的。也就是說，解對於四捨五入誤差非常敏感。xn-1xn-2⋯x1pfx()11111xn-1xn-2⋯x1pfx()22222⋮⋮⋱⋮⋮⋮=⋮n-1n-2pxn-
3、1xn-1⋯xn-11n-1fx(n-1)xn-1xn-2⋯x1pnfx()nnnn11-4牛頓(Newton)內插多項式1一階與二階簡單內插與牛頓內插的差別階次簡單牛頓一階f(x)=a+axf(x)=b+b(x-x)11211212二階f(x)=a+ax+axf(x)=b+b(x-x)+b(x-x)(x-x)2123212131211-5牛頓內插多項式2除了表示出連接這兩個點的斜率外，[f(x)−f(x)]/(x−x)2121這個項也是一個一次微分的有限差分近似。通
4、常，兩個資料點間的區間愈小，近似的效果愈好。這是由於當區間減小的同時，連續函數愈能夠近似直線。f(x)=b+b(x-x)1121fx(2)-fx(1)f1()x=fx()1+(x-x1)x-x2111-6一次微分的有限差分近似牛頓內插多項式3如果知道三個資料點，則可以利用二階多項式來完成內插（所以也稱做二次多項式或拋物線）。f(x)=b+b(x-x)+b(x-x)(x-x)2121312fx(3)-fx(2)fx(2)-fx(1)-f()x=fx()fx()2-fx()1x-xx3-x2x2-x1
5、x-x21+(1)+(1)(x-x2)x-xx-x2131二次微分的有限差分近似11-7牛頓內插多項式的一般形式(n－1)階的多項式為f(x)=b+b(x−x)+···+b(x−x)(x−x)···(x−x)n−1121n12n−1資料點可以用來計算係數b,b,...,b。對於要使用(n－1)12n階的多項式來做配適，需要n個資料點如下：[x,f(x)],[x,f(x)],...,[x,f(x)]1122nnb=f(x)11b=f[x,x]•資料點之間不一定要等距221b=f[x,x,x]332
6、1•橫軸上的值不一定要由小到大排列⋮b=f[x,x,⋯,x,x]nnn-12111-8有限分割差分的遞迴特性遞迴特性：高階的差分是取兩個低一階差分的差分。11-9課堂練習使用內插來估計ln2利用ln1=0,ln6=1.791759(線性內插)利用ln1=0,ln4=1.386294(線性內插)利用ln1=0,ln4=1.386294,ln6=1.791759(二階牛頓)利用ln1=0,ln4=1.386294,ln6=1.791759,ln5=1.609438(三階牛頓)ln2=0.69
7、3147211-10牛頓內插法的M檔11-11拉格朗日(Lagrange)內插多項式一階與二階簡單內插與拉格朗日內插的差別階次簡單拉格朗日一階f(x)=a+axf(x)=Lf()x+Lf()x112111222()()()二階f(x)=a+ax+axf(x)=Lfx+Lfx+Lfx2123211223311-12一階拉格朗日內插多項式以同一直線上兩個值的加權平均來公式化一個線性內插多項式f(x)=Lf(x)+Lf(x)11122x-xx-x21L=,L=12x-xx-x1221x-xx-x2()
8、1()兩個別直線分別f(x)=fx+fx112x-xx-x通過其中一點，1221且在另一點為零11-13高階拉格朗日內插多項式二階拉格朗日內插多項式(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)23()13()f(x)=fx+fx2()()1()()2x-xx-xx-xx-x12132123(x-x)(x-x)12()+fx()()3x-xx-x3132n-1階拉格朗日內插多項式nnx-x∑()jf(x)=L(x)fx其中L(x)=Pn-1iiii=1j=1x-xj¹i
