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1、!!!∀#∃上海机械学院学报%&&∋(∀)∗+,−#./+012.#32.44#156,78+9:8;2.#4;.工石#+4#88−<=#3函数曲线的双圆弧拟合姜永林丁亚军机械工程系提要本文介绍在计算机绘图系统中,对一般非圆函数曲线的双圆弧拟合的算法和原。。理并提供程序框图以供参考>,关键词计茸机制圈自动制圈一前一二∗目,、、,,在计算机自动绘图系统中一般都有绘制直线圆弧抛物线等插补功能绘图时只,、、,要技绘图机的指令格式给定参数绘图机就能自动绘出所需的直线圆弧抛物线而对一>、,般的函数曲线如椭圆
2、正弦曲线等非圆曲线绘图系统并不具备绘制上述曲线的插补功,。。能通常采用两种方法来拟合这些曲线即直线拟合及圆弧拟合本文介绍的函数曲线的双圆弧,,拟合就是根据函数曲线上两个相邻的型值点及其一阶导数用两个彼此相切的圆弧来一。,拟合相邻两点间的函数曲线源程序用0+−7−.#语言编写在中船总公司第十一研究所≅。的%?1∀计算机及%;ΑΒΒΧ%:∋∀Α+绘图机上调试通过二双圆弧曲线#>,Γ?,>,ΓΙ?,,Δ』』,Γϑ,ΚΛ∋设平面上给定了个型值点ΔΕΦ9ΕΗΙ⋯⋯ΕΦ?Δ··。。二。ΕΦΜϑ,十∋⋯,9Ε,,ΓΜ
3、》ΗΓ?要求在每相邻两个点之间都用两段相切的圆弧来拟合,,。这样构成的曲线在工程应用中称为双圆弧曲线如图∋所示,∗ΛΝ,。,。ϑΛ∋设9Μ9为函数曲线上的两个相邻点其弦切角分别为日在三角形9Μ:9的9Μ:二“Ε>,一十Ν,>十∋边上截取9Μ%的大小应该小于9Μ2其中2是等腰三角形9Μ29Μ的顶点?并在:9十>8ΟΠ,,,十>,%,,边的延长线上截取9Μ连接8%作8%的中垂线交9Μ:于;交8于0连接;%十∋,Ν,Θ,Ι,,过9Μ作9Μ:的垂线交;0的延长线于Β作;%的垂线+77为垂足过9Μ作9Μ:的垂+Ρ
4、7的延长线交于∋,∋,>,4,Ι,>,线与Β分别以Β+为圆心+9Μ+9Μ为半径作圆则此二圆弧必。相切于7点本文于∋(∀)年Α月Θ日收到护+上海机械学院学报第∀卷第∃期推论>Π,,,,。Ε∋?改变则7点也就随之变化因此从理论上讲公切点7有无穷多个。ΕΘ?公切点7的轨迹可以证明是一个圆,,Λ>为了构造双圆弧曲线实际上只要能求出任意两个型道点9Μ9Μ之间的两段相切圆弧、,。的圆心半径和公切点问题也就解决了、、三公切点圆心半径的计算本文公切点7选定如下>7的切线;%平行于函使公切点数曲线上两相邻型值点切线夹。,
5、。角之平分线:#这样可使两段圆弧切线转角相等一,只,&ΧΘ图Θ∋(∀)年∋Θ月函数曲线的双圆弧拟合Θ,Σ,,如图所示在座标系中根据7点的选取原则应该具有乙Τ二匕∀二&ΧΘ乙Α二乙Υ,乙∃二)且故因乙匕Α十乙ΥΟ乙∃Λ匕)二乙Τ二乙∀Ο&ΧΘ乙Α二乙∃Ο乙ΥΟ匕)二+Χ∃因为公叨点7是直线!了与直线了>的交点。所Σς>瓦可以在坐标系中Ω∗产ΛΞΨ∃Χ直线9Μ7的方程为尹Ε∋?∋一ΜΞΨΧ∃Λ,!Ω‘Μ>一‘ΨΠ∃,Ω,、十ς7ΝΧ直线9Μ的方程为一二二一气丫Ζ、以一‘,ΕΘ?—了Μ十∋—Λ
6、—一ΞΨΧ∃,Σ,ΝΣ,∗’,‘」十,其中以Δ万流勺轴9为ς坐标系的原点侧为[下可不ςς为函数曲线在Σ,、Ν。坐标系中9Μ9Μ两点处的一阶导数联∋?,ΕΘ?可解得切点坐标为>立方程Ε十≅Ω一一Ν‘」‘ΩΜ一Ξ∃?Ε∋一ςΩΣ7Ο二而ΩΜ卫叫坦∴Ι生壮Ω几丁飞户]十>一ΞΨ声ΛΞΨΜ,,了ΞΨ&Ψ&Χ∃?ΕΧ∃?一ΕΜΧ∃?Ε∋ΛΩΧ∃?二]尸ΛϑΨ。∃?∋一Μ产ΞΨ)∃?Σ7ΕΧΧΕΧ7、再根据双圆弧圆心公式可得两段圆弧的圆心>半径的表达式为一Σ7一Σ∗Θ卜一ΜΘΕ?Ε7?−ΜΟ
7、Ε一Μ一ΜΣ一Σ∗7?Ε7?‘二−」。‘一∗·一一誉苍四局部坐标与整体坐标的关系!∋Σ,7?∋。∋,ς>,>Σ>,公切点7的坐标Ε7及双圆弧的圆心坐标ΒΕΒ?+Ε。。>Σ+?均是局部坐标系中的坐标值它们是随函数曲线上相邻两个型值点而变化的而。。绘图机的坐标ΗΓ是固定不变的如图Α所示因此,,函数曲线侮段型值点的坐标值首先由整体坐。标值转化为局部坐标值在计算出双圆弧的有关参数,。后还要转化为整体坐标系的坐标值然后按绘图机所。>需的参数输出其坐标变换公式为5日跳心二!、Χ,几!‘;+1)一
8、ΥΚ)八,二Σς‘〕〔Φ⊥‘〕〔ΥΚ5)&])ϑ∋/_,Σ),其中)为轴与Η轴的夹角且顺时针为正逆时针为,,5。负_为坐标平移量Θ!函数曲线型值点处的一阶导数是根据函数子程图Α。,序给定的它是整体坐标系中的值而公切点7的计算‘,‘。‘!』Μ十>,,Ζ公式中的ς是在局部坐标系中的值因此两者也要进行对应的变换札坐一上海机械学院学报第∀卷第∃期标变换公式有ΣΟΗ&])ΛΓ]Κ)一_⎯Ο一Η]Κ5)ΛΓ&]+一5α一αΗ]Κ5)Λα⊥
