组合恒等式和组合同余式

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1、CombinatorialIdentitiesandCongruencesYongZhangMay,2010fIIIIIIIIIIIIIllllllllllllllllllllllllllUfY2372643亩京太堂班究生生些论文虫文摘要苴页用纸毕业论文题目：组合恒等式和组合同余式专业：基础数学2QZ级博士生姓名：张勇指导教师(姓名、职称。型!塑堡塾握组合恒等式和组合同余式是组合数论的重要内容．本文主要研究关于Bernoulli，Euler多项式的对称恒等式以及关于Salid数的q模拟和二项式系数的同余式．Miki，Mati

2、yasevich发现TBernoulli数卷积恒等式．在2006年，孙智伟和潘颢又发现了Bernoulli和Euler多项式对称恒等式．Sali6数&有重要的组合意义．利用Bernoulli数的算术性质，Carlitz证明了对任意自然数n，2札整除&n．郭军伟和曾江引入了三种Sali6数的q模拟．孙智伟提出了很多与二项式系数求和有关的同余式猜想．在本文中，我们首先提出TEuler多项式的两个一般的对称恒等式，并给出了证明．接着研究Tq-Sali6数的可除性，证明了郭军伟和曾江关于Salifi数q模拟的两个猜想．最后完全证明了

3、孙智伟猜想的7个同余式和部分证明了他猜想的另外2个同余式，它们涉及中心二项式系数的和式以及调和数．全文共分四章，内容如下：第一章包括主要内容介绍和预备知识．在第二章中，我们主要对孙智伟和潘颢关于Euler多项式的一个对称恒等式进行推广．当m是奇数时，推广形式是关于m个Euler多项式卷积和的恒等式；当m是偶数时，推广形式是关于m个Bernoulli，Euler多项式卷积和的恒等式．证明过程中使用了差分技巧．我们把主要结果叙述如下：设仇，n是自然数，伯，r1⋯．，rm是使得ro+r1+⋯+Tm=n一1的任意复数．2直京太堂研究

4、生望些论文虫文摘要苴页用纸(1)如果m是奇数，则有∑nh，⋯，km>_Oj=l七1+⋯+km=nm∑i=1(Z)刚¨(一1)i∑七1，．，南m≥0七1+⋯+‰n=n(如c1■曼(Z)刚Xj--xi+lj>i，，记号1歹>t在歹>i时取值1，否则取值0．(2)当m是偶数时，则有伯2惫1，FJ二一一，七。≥0垂(拈c巧，kz+⋯+知m=礼一1=∑(一1)i∑i=1kl，．．，km≥0七1+⋯+七m=n(Z)蹦1_曼(Z)‰cZj--Xi-+一lj>i，·取Xl=⋯=zm=1／2，有如下推论：设m，n是自然数，ro，r1⋯．，rm

5、是使得伯+r1+⋯+rm=n一1的任意复数．(1)Nm是奇数时，则有m(一1)n∑II惫1，⋯，七。≥0j=l南1+⋯+km=n(Z)∑(一1)m<’如：畛。’l七1，．，南m20七1+⋯+km=n这里宫七=2k(2七一1)B七／k，当忍=1，2，3，．3．V，1一m∑商=直京太堂研究生生些i金文虫文摘要苴亟用纸(一1)‰∑Ⅱ(rj)Ek，kl，⋯，岛。≥0j=l、一=善mc一，乏。c刮均鲰畛吲(Z)(2k'-2)Bk,1里(班一·l=1惫1，．．，南。≥0、⋯SJSm⋯kl+⋯+km=nJ≠l在第三章中，我们研究了两种q—

6、Sali6数文(g)和&(g)的可除性，通过新的辅助喜c一1，七口c蛩，[2乙：1]。三。cm。d国ncg，，∑nc一1，南qc蛩，一2南[2毛：1]。三。cnn。d国竹cq，，，我们证明了郭军伟和曾江关于Sali6数g模拟的两个猜想．把主要结果叙述如下：设n是正整数，则我们有岛n(q)三0(mod国n(g))&n(口)三0(rood国n(q))．在第四章中，我们完全证明了孙智伟猜想的7个同余式和部分证明了他猜想的另外2个同余式．该章共有三个定理．定理4．1．1涉及二项式系数和在3处的阶．以下是定理的表述：设整数m三1(mo

7、d3)．(i)对任意正整数礼我们有且当整数a≥v3(m一1)时我们有(ii)设a∈Z+，假设成立．则我们有≥min{v3(n)，垤(m一1)3(mod3v3(m(3。玲叫七(萼)三啦oas口1)．(铲。-1)c叫七粤)狮巾矧⋯¨在同样的前提下，当整数a>均(m一1)时我们有(3口甜叫七鲁三一m．——13(mod3怕(m一1’)定理4．1．2包含四个模p，p2的同余式．我们列出了这四个同余式：(i)对大于3的素粉我们有对奇素数p我们有吐2∑k=O三8(modP2)三(--1)孚一4(modp2)．5、、／㈤万“∑脚1一n／＼垤

8、三㈣万一∑脚1一弘～∑脚1一弘～∑脚1一弘／＼魄～∑脚1一弘直京太堂研究生生些论文生文摘要苴亟用纸(ii)设素数p三1(mod4)，则有设素郯三3(mod4)，则有曼掣三o(roodp)．厶R七一。k=O定理4．1．3给出的是与调和数求和相关的一个同余式．现把定理表述如下：对大于3的素数P