基于曲波变换的图像去噪论

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1、基于曲波变换的图像去噪摘要——我们描述近似数字实现的两个新的数学转换，即，脊波变换[2]和曲波变换[5][6]。我们要实现的是提供重建的精确性和稳定性，避免扰动的同时实现较低的计算复杂度。一个核心工具是近似计算傅氏频域内的数字转换。我们引入一个非常简单的插值:在傅里叶空间一个极标内用笛卡儿样本和产出样本，尽管进行了简单的插值，但产生了超乎预料的视觉表现。脊波变换适用于在频域内有紧凑形态的一个特殊完备小波峰的Randon变换。脊波变换为一个曲线波变换的一个组成步骤，通过小波滤波器组以实现部分波段有曲线波变换。我们贯穿全文的理念是:所应用的变换应该是完整的完备的。而不需要通过进行严格的采样

2、。我们通过应用这些数字转换把嵌入图像中的白噪声消除，以达到给图像去噪的目的。在这份测试报告里，简单阈值作为曲波变换的系数这种方法跟基于小波的方法相比具有非常多的优势，其中包括二进制阈值和非抽样小波转换。基于树形结构的贝叶斯变换后验平均值的方法等等。此外，曲波变换重建可以提供更加锐化的图像，还有特别是边缘和衰弱线性或者曲线性的高质量的重建使得比基于小波的重建展示出更高的知觉质量。曲波变换和脊波变换的现有理论表明这些新方法可以在某些特定的图像重建问题中优于小波方法。本论中的实证结果也为这种观点提供有力支撑。索引词曲线波变换，离散小波变换，FFT，滤波器，快速威尔变换。Randon变换，脊波

3、变换，阈值变换，小波变换引言小波图像去噪过去的十年中，人们对于用小波去噪这种方法在信号去噪和图像去噪方面产生了深厚的兴趣。在发表于工程科学杂志上的数以百计的资料中，许多基于小波方法的工具和想法被提出和研究。起初的努力包括一些很简单的想法，像噪声数据阈值变换的正交小波系数，接着是重建。后来的工作发现在视觉质量可以通过基于阈值变换的小波抽取采用平移不变的变换实现根本性的改善。近来又有了更多的发现，基于树形结构的小波去噪方法在图像去噪方面又有了新的发展。，具体是通过提取树形结构的小波系数和所谓的类似于父子关系存在于图像边缘的小小系数。还有许多科研人员还进行了不同的基本方案改进，包括改进阈值方

4、程，等级相关阈值，自适应阈值，贝叶斯条件期望非线性等等。研究者们广泛的工作产生了大量的关于文献，通过结合达到了大量的改进，产生了许多实质性的成果。未来可以的新方法前瞻在这篇文章里，我们提及最重要的新近引进的变换方法在图像去噪的领域的应用，像脊波变换和曲线变换——均被提出作为替代图像数据的小波变换。这些方法将会在下面被详细介绍，但是基础的理论仍然在进行研究中。用软件来计算这些新的变换仍然处于成型期，作为各种权衡和选择仍然在萌芽之中。尽管我们已经完成了最重要部分的软件研究，尽管在实施和细心订正上付出了时间和精力，跟小波变换图像去噪相比较，我们对于已经取得的成功非常惊奇。我们在这里所展示的新

5、方法，在它前期的发展过程中已经表现出和小波变换相比一致也许好于这种方法。特别地，我们在标准图像一系列潜在的噪音水平上显示出更好的峰值信噪比，像barbara和lena。（其它的一些例子在我们的网站也有展出）。我们比较主要在标准小波变换方法的阈值标准抽取小波变换、小波变换的阈值大幅度下降和基于树形结构贝叶斯方法之间进行。尽管只用一些举例来论证的结论是正确性是有限的，我们目前提出的结论与曲线变换去噪的理论的发展是一致的：显示出在复原边界模糊的图像方面，曲线变换比小波方法可以获得更小的渐近均方误差。由于我们所研究的图像都是小尺寸的，所以渐近线理论并不一定完全符合。但是，我们也已经发现，在一些

6、特定的尺寸当中出现了比小波方法更好的新方法。把我们这里所展示的理论和其它地方已经出现的理论相结合，我们可以得出这样的结论：新的方法可以提供一种更好的前景，更有可能回馈给我们在近似图像重建方面更加深远的发展。C．新变换在过去几年中新的脊波变换和曲波变换方法的发展都试图打破小波图像去噪方法的不足。这种限制源于著名的经常被描绘的事实：二维小波变换会显示出很大的小波系数，即使在正常尺寸当中的图像一些重要的边缘，所以在出现很大小波系数的图像当中，人眼可以发现图像的边缘在不同尺寸当中重叠。然而这种视觉效应非常有趣，但它意味着需要更多的小波系数来使图像边缘的重建成为可能。当存在很多小波系数需要估计的

7、时候，其中必然面临许多困难。存在一种基于为人熟知的统计在简洁和精确度之间施行折衷的方法，但即便是最好的平衡也会存在相对大的均方误差。虽然这是小波方法固有的折衷方法（以及傅里叶和许多其它标准方法），在理论方面还存在更好的平滑图像边缘重建图像的方案。例如，渐近参数表明，在一定的针对用一般噪声参数处理带噪图像的连续介质模型中，为了恢复一个图像边缘，理想的MSE只适用于小波变换方法。为逼近这个理想的MSE，应该开发只用非零参数精确表示的平滑方程和图像边